1183 Найдите площадь S правильного п-угольника, если: а) n = 4, R = 3√2 см; б) п=3, P=24 см; в) п=6, r=9 см; г) п = 8, r = 5√3 см.

• а) n = 4, R = 3√2 см.

Правильный четырехугольник - это квадрат. Сторона квадрата связана с радиусом описанной окружности соотношением:

$$a = R\sqrt{2}$$

Тогда сторона квадрата равна:

$$a = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6 \text{ см}$$

Площадь квадрата равна:

$$S = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2$$

• б) n = 3, P = 24 см.

Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Сторона треугольника равна:

$$a = \frac{P}{3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ см}$$

Площадь равностороннего треугольника равна:

$$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2$$

• в) n = 6, r = 9 см.

Площадь правильного шестиугольника равна:

$$S = 6 \cdot \frac{1}{2} a r = 3ar$$

Сторона правильного шестиугольника связана с радиусом вписанной окружности соотношением:

$$a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 9}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \text{ см}$$

Площадь правильного шестиугольника равна:

$$S = 3ar = 3 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 9 = 162\sqrt{3} \text{ см}^2$$

• г) n = 8, r = 5√3 см.

Площадь правильного восьмиугольника можно найти по формуле:

$$S = 2na^2 (1 + \sqrt{2})$$

Сторона правильного восьмиугольника связана с радиусом вписанной окружности соотношением:

$$a = 2r(\sqrt{2} - 1) = 2 \cdot 5\sqrt{3} (\sqrt{2} - 1) = 10\sqrt{3} (\sqrt{2} - 1) \text{ см}$$

Площадь правильного восьмиугольника равна:

$$S = 2 \cdot 8 \cdot (10\sqrt{3} (\sqrt{2} - 1))^2 (1 + \sqrt{2}) = 16 \cdot 100 \cdot 3 (2 - 2\sqrt{2} + 1) (1 + \sqrt{2}) = 4800 (3 - 2\sqrt{2}) (1 + \sqrt{2}) = 4800 (3 + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 4) = 4800 (-\sqrt{2} - 1) \text{ см}^2$$

Ответ: а) 36 см², б) $$16\sqrt{3} \text{ см}^2$$, в) $$162\sqrt{3} \text{ см}^2$$, г) $$4800 (-\sqrt{2} - 1) \text{ см}^2$$