Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 8 и 14 , а один из углов равен 45°.

Решение:

Равнобедренная трапеция имеет два основания: \( a = 8 \) и \( b = 14 \). Один из углов равен \( \alpha = 45^{\circ} \).

Чтобы найти площадь трапеции, нам нужна её высота. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Это создаст прямоугольный треугольник.

Разность оснований равна \( b - a = 14 - 8 = 6 \). Эта разность делится пополам на два отрезка, прилежащих к боковым сторонам трапеции: \( x = \frac{b-a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

В полученном прямоугольном треугольнике один катет — это высота \( h \), а другой катет — \( x = 3 \). Угол при основании равен \( 45^{\circ} \).

Так как тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\[ \tan(45^{\circ}) = \frac{h}{x} \]\[ 1 = \frac{h}{3} \]\[ h = 3 \]Так как \( \tan(45^{\circ}) = 1 \).

Теперь, когда мы знаем высоту \( h = 3 \), мы можем найти площадь трапеции по формуле:

\[ S = \frac{a+b}{2} \cdot h \]\[ S = \frac{8+14}{2} \cdot 3 \]\[ S = \frac{22}{2} \cdot 3 \]\[ S = 11 \cdot 3 \]\[ S = 33 \]

Ответ: 33.