Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого служат центры граней куба с ребром 4 см. 1) 16 см² 2) 16√2 см² 3) 16√3 см² 4) 24 см²

Давай решим эту задачу вместе. Сначала определим, что за многогранник получается, если соединить центры граней куба. Это октаэдр. 1. Определение октаэдра: Октаэдр – это многогранник, имеющий восемь граней, и все грани - равносторонние треугольники. 2. Нахождение стороны октаэдра: * Ребро куба равно 4 см. Центры граней куба находятся посередине каждой грани. * Рассмотрим квадрат (грань куба) со стороной 4 см. Сторона октаэдра - это отрезок, соединяющий середины двух смежных сторон этого квадрата. Этот отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными половине стороны куба, то есть 2 см. * По теореме Пифагора, сторона октаэдра a равна: \[a = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] 3. Нахождение площади одной грани октаэдра: * Грань октаэдра - равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \[S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\] * Подставляем значение стороны a = 2√2: \[S_{\triangle} = \frac{(2\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{8 \sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}\] 4. Нахождение площади поверхности октаэдра: * Октаэдр состоит из 8 равносторонних треугольников. Поэтому, чтобы найти площадь поверхности октаэдра, нужно умножить площадь одной грани на 8: \[S_{октаэдра} = 8 \times 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\] Таким образом, площадь поверхности октаэдра равна \(16\sqrt{3}\) см².

Ответ: 3) 16√3 см²

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!