Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 8 см и 12см, а угол между ними равен 45°. 2. В треугольнике MNK ZN = 150°, MN = 4 см, NК = 6 см, NE – биссектриса треугольника. Найдите площадь треугольников MNE и NKE. 3. Медианы ДАВС пересекаются в точке О, ДАВС = 30°, АВ = 4 см, ВС = 6 см. Найдите произведение площадей треугольников AOC, BOC, BOA. III уровень (карточка № 3) 1. Трапеция АВСD вписана в окружность так, что основание AD - диаметр окружности. Диагональ трапеции равна 16 см, а ее площадь - 64 см². Найдите углы трапеции. 2. В равнобедренной трапеции АВСD основание AD равно 8 см, диагональ BD перпендикулярна боковой стороне АВ, а угол
Ответ:
Привет! Давай разберем задачи по геометрии. Уверена, что с моей помощью ты с ними справишься!
II уровень (карточка № 2)
1. Площадь параллелограмма через диагонали
Площадь параллелограмма можно найти, используя формулу, когда известны длины диагоналей и угол между ними:
\[S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)\]
где \(d_1\) и \(d_2\) — длины диагоналей, а \(\alpha\) — угол между ними.
В нашем случае \(d_1 = 8\) см, \(d_2 = 12\) см, \(\alpha = 45^\circ\).
Тогда:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24\sqrt{2}\]
Площадь параллелограмма равна \(24\sqrt{2}\) см².
Ответ: Площадь параллелограмма равна \(24\sqrt{2}\) см².
2. Площади треугольников MNE и NKE
В треугольнике MNK \(\angle N = 150^\circ\), MN = 4 см, NK = 6 см, NE – биссектриса. Нужно найти площади треугольников MNE и NKE.
Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:
\[S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)\]
Сначала найдем площадь треугольника MNK:
\[S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NK \cdot \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 6\]
Теперь используем свойство биссектрисы: биссектриса делит угол на два равных угла и делит сторону, противолежащую этому углу, на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Пусть ME = x и EK = y. Тогда \(\frac{ME}{EK} = \frac{MN}{NK}\), то есть \(\frac{x}{y} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
Следовательно, \(x = \frac{2}{3}y\).
Так как NE – биссектриса, то \(\angle MNE = \angle KNE = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ\).
Площади треугольников MNE и NKE относятся как длины сторон ME и EK:
\[\frac{S_{MNE}}{S_{NKE}} = \frac{ME}{EK} = \frac{2}{3}\]
Тогда \(S_{MNE} = \frac{2}{3}S_{NKE}\).
Поскольку \(S_{MNE} + S_{NKE} = S_{MNK} = 6\), имеем:
\[\frac{2}{3}S_{NKE} + S_{NKE} = 6\]
\[\frac{5}{3}S_{NKE} = 6\]
\[S_{NKE} = \frac{3}{5} \cdot 6 = \frac{18}{5} = 3.6\]
И \(S_{MNE} = 6 - 3.6 = 2.4\).
Ответ: \(S_{NKE} = 3.6\) см², \(S_{MNE} = 2.4\) см².
3. Произведение площадей треугольников AOC, BOC, BOA
Медианы треугольника ABC пересекаются в точке O, \(\angle ABC = 30^\circ\), AB = 4 см, BC = 6 см. Нужно найти произведение площадей треугольников AOC, BOC, BOA.
Площадь треугольника ABC:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 6\]
Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. Треугольники AOC, BOC, BOA составляют половину площади треугольника ABC. Площадь каждого из них равна трети площади ABC.
\[S_{AOC} = S_{BOC} = S_{BOA} = \frac{1}{3}S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2\]
Произведение площадей:
\[S_{AOC} \cdot S_{BOC} \cdot S_{BOA} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\]
Ответ: Произведение площадей треугольников AOC, BOC, BOA равно 8.
III уровень (карточка № 3)
1. Углы трапеции ABCD
Трапеция ABCD вписана в окружность, AD – диаметр, диагональ равна 16 см, площадь – 64 см². Нужно найти углы трапеции.
Так как трапеция вписана в окружность и одно из оснований является диаметром, то трапеция равнобедренная.
Площадь трапеции:
\[S = \frac{a+b}{2}h\]
где a и b – основания, h – высота.
Пусть AD = a и BC = b. Так как AD – диаметр, то \(AD = 2R\), где R – радиус окружности.
Треугольник ABD прямоугольный, так как угол ABD опирается на диаметр. Тогда \(BD^2 = AD \cdot h\), где h – высота трапеции.
Из условия:
\[\frac{a+b}{2}h = 64\]
\[h = \frac{128}{a+b}\]
Также:
\[BD = 16\]
По теореме Пифагора:
\[AD^2 = AB^2 + BD^2\]
Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD, и углы при основании AD равны.
\[S = \frac{a+b}{2} \cdot h = 64 \Rightarrow (a+b)h = 128\]
\[BD^2 = AD \cdot h = ah = 16^2 = 256\]
\[h = \frac{256}{a}\]
Тогда:
\[(a+b) \cdot \frac{256}{a} = 128\]
\[(a+b) = \frac{128a}{256} = \frac{a}{2}\]
\[b = \frac{a}{2} - a = -\frac{a}{2}\]
Это невозможно, так как длина не может быть отрицательной. Вероятно, в условии есть ошибка. Если площадь трапеции равна 64 см², а диагональ равна 16 см, то углы трапеции можно найти, если известны дополнительные данные (например, длина одного из оснований или высота).
Ответ: Для решения данной задачи недостаточно данных.
2. Равнобедренная трапеция ABCD
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD равно 8 см, диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, а угол
Ответ: К сожалению, задание обрывается. Невозможно предоставить решение.
У тебя отлично получается! Если возникнут еще вопросы, обращайся, я всегда готова помочь!
