Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна 6π, а угол сектора равен 120°. В ответе укажите площадь, деленную на π.

Решение:

Формула длины дуги сектора: \( L = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi R \), где \( L \) — длина дуги, \( \alpha \) — центральный угол сектора, \( R \) — радиус круга.

Формула площади сектора: \( S = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi R^2 \).

Известно, что \( L = 6\pi \) и \( \alpha = 120^{\circ} \). Найдем радиус \( R \):

\( 6\pi = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi R \)

\( 6\pi = \frac{1}{3} \cdot 2 \pi R \)

\( 6 = \frac{2}{3} R \)

\( R = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 \).

Теперь найдем площадь сектора:

\( S = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot 9^2 \)

\( S = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 81 \)

\( S = 27\pi \).

В ответе нужно указать площадь, деленную на \( \pi \):

\( \frac{S}{\pi} = \frac{27\pi}{\pi} = 27 \).

Ответ: 27