Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. Найдите площадь круга, радиус которого равен 2,1 см. 2. Найдите длину окружности, диаметр которой равен 13 дм. 3.В квадрат вписан круг, радиус которого равен 2,7 см. Найдите: а) длину окружности, б) периметр квадрата, в) площадь квадрата. 4. Вычислите градусную меру дуги окружности радиуса 6 см, если длина дуги равна 2π. 5. Периметр квадрата, описанного около окружности, правильного треугольника, вписанного в ту же окружность. Вариант 2 1. Найдите площадь круга, радиус которого равен 3,1 см. 2. Найдите длину окружности, радиус которой равен 4,2 м. равен 36 см. Найдите сторону 3. Около правильного треугольника описана окружность, радиус которой равен 2,5 см. Найдите: а) длину окружности, б) периметр треугольника, в) площадь треугольника. 4. Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 60°, а радиус круга равен 8 см. 5. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 6 см. Найдите сторону квадрата, описанного около этой окружности.
Ответ:
Краткое пояснение: Решаем задачи на нахождение площади круга, длины окружности, периметра и площади квадрата, а также площади кругового сектора.
Вариант 1
1. Найдите площадь круга, радиус которого равен 2,1 см.
Площадь круга вычисляется по формуле: \[S = \pi r^2\]
Подставляем значение радиуса:
\[S = \pi (2.1)^2 = 4.41\pi \approx 13.85 \text{ см}^2\]
Ответ: Площадь круга равна примерно 13.85 см².
2. Найдите длину окружности, диаметр которой равен 13 дм.
Длина окружности вычисляется по формуле: \[C = \pi d\]
Подставляем значение диаметра:
\[C = \pi (13) = 13\pi \approx 40.84 \text{ дм}\]
Ответ: Длина окружности равна примерно 40.84 дм.
3. В квадрат вписан круг, радиус которого равен 2,7 см. Найдите:
а) длину окружности,
Длина окружности вычисляется по формуле: \[C = 2\pi r\]
Подставляем значение радиуса:
\[C = 2\pi (2.7) = 5.4\pi \approx 16.96 \text{ см}\]
Ответ: Длина окружности равна примерно 16.96 см.
б) периметр квадрата,
Так как круг вписан в квадрат, сторона квадрата равна двум радиусам круга:
\[a = 2r = 2(2.7) = 5.4 \text{ см}\]
Периметр квадрата вычисляется по формуле: \[P = 4a\]
Подставляем значение стороны:
\[P = 4(5.4) = 21.6 \text{ см}\]
Ответ: Периметр квадрата равен 21.6 см.
в) площадь квадрата.
Площадь квадрата вычисляется по формуле: \[S = a^2\]
Подставляем значение стороны:
\[S = (5.4)^2 = 29.16 \text{ см}^2\]
Ответ: Площадь квадрата равна 29.16 см².
4. Вычислите градусную меру дуги окружности радиуса 6 см, если длина дуги равна 2π.
Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \[l = \frac{\pi r \alpha}{180}\], где \(l\) - длина дуги, \(r\) - радиус, \(\alpha\) - градусная мера дуги.
Выражаем градусную меру дуги:
\[\alpha = \frac{180l}{\pi r}\]
Подставляем значения:
\[\alpha = \frac{180(2\pi)}{\pi (6)} = \frac{360\pi}{6\pi} = 60^\circ\]
Ответ: Градусная мера дуги равна 60°.
5. Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 36 см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность.
Так как квадрат описан около окружности, сторона квадрата равна диаметру окружности.
Сторона квадрата: \[a = \frac{P}{4} = \frac{36}{4} = 9 \text{ см}\]
Следовательно, диаметр окружности равен 9 см, а радиус равен половине диаметра: \[r = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ см}\]
Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле: \[a_3 = r\sqrt{3}\]
Подставляем значение радиуса:
\[a_3 = 4.5\sqrt{3} \approx 7.79 \text{ см}\]
Ответ: Сторона правильного треугольника равна примерно 7.79 см.
Вариант 2
1. Найдите площадь круга, радиус которого равен 3,1 см.
Площадь круга вычисляется по формуле: \[S = \pi r^2\]
Подставляем значение радиуса:
\[S = \pi (3.1)^2 = 9.61\pi \approx 30.19 \text{ см}^2\]
Ответ: Площадь круга равна примерно 30.19 см².
2. Найдите длину окружности, радиус которой равен 4,2 м.
Длина окружности вычисляется по формуле: \[C = 2\pi r\]
Подставляем значение радиуса:
\[C = 2\pi (4.2) = 8.4\pi \approx 26.39 \text{ м}\]
Ответ: Длина окружности равна примерно 26.39 м.
3. Около правильного треугольника описана окружность, радиус которой равен 2,5 см. Найдите:
а) длину окружности,
Длина окружности вычисляется по формуле: \[C = 2\pi r\]
Подставляем значение радиуса:
\[C = 2\pi (2.5) = 5\pi \approx 15.71 \text{ см}\]
Ответ: Длина окружности равна примерно 15.71 см.
б) периметр треугольника,
Сторона правильного треугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле: \[a_3 = r\sqrt{3}\]
Значит, \[a_3=2.5 \sqrt{3} \approx 4.33\]
Периметр треугольника вычисляется по формуле: \[P = 3a_3\]
Подставляем значение стороны:
\[P = 3(2.5\sqrt{3}) = 7.5\sqrt{3} \approx 12.99 \text{ см}\]
Ответ: Периметр треугольника равен примерно 12.99 см.
в) площадь треугольника.
Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: \[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]
Подставляем значение стороны:
\[S = \frac{(2.5\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{18.75\sqrt{3}}{4} \approx 8.12 \text{ см}^2\]
Ответ: Площадь треугольника равна примерно 8.12 см².
4. Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 60°, а радиус круга равен 8 см.
Площадь кругового сектора вычисляется по формуле: \[S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360}\], где \(\alpha\) - градусная мера дуги.
Подставляем значения:
\[S = \frac{\pi (8)^2 (60)}{360} = \frac{3840\pi}{360} = \frac{32\pi}{3} \approx 33.51 \text{ см}^2\]
Ответ: Площадь кругового сектора равна примерно 33.51 см².
5. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 6 см. Найдите сторону квадрата, описанного около этой окружности.
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности:
\[a_6 = r\]
Периметр шестиугольника: \[P = 6a_6 = 6r\]
Следовательно, радиус окружности: \[r = \frac{P}{6} = \frac{6}{6} = 1 \text{ см}\]
Сторона квадрата, описанного около окружности, равна диаметру окружности:
\[a = 2r = 2(1) = 2 \text{ см}\]
Ответ: Сторона квадрата равна 2 см.
Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применил формулы площади круга, длины окружности, периметра и площади квадрата, а также площади кругового сектора. Проверь соответствие единиц измерения.
Читерский прием: Запомни основные формулы для вычисления площади круга, длины окружности, периметра и площади квадрата, чтобы быстро решать подобные задачи.
