4.227*. Найдите первый член и знаменатель геометричес- кой прогрессии (bₙ), если b₄ − b₅ = −168 и b₃+ b₄=−28.

Шаг 1: Выразим \( b_4 \) и \( b_5 \) через \( b_1 \) и \( q \) (знаменатель геометрической прогрессии): \[ b_4 = b_1 \cdot q^3 \] \[ b_5 = b_1 \cdot q^4 \] \[ b_3 = b_1 \cdot q^2 \]

Шаг 2: Подставим эти выражения в заданные уравнения: \[ b_1q^3 - b_1q^4 = -168 \] \[ b_1q^2 + b_1q^3 = -28 \]

Шаг 3: Вынесем общие множители: \[ b_1q^3(1 - q) = -168 \] \[ b_1q^2(1 + q) = -28 \]

Шаг 4: Разделим первое уравнение на второе: \[ \frac{b_1q^3(1 - q)}{b_1q^2(1 + q)} = \frac{-168}{-28} \] \[ \frac{q(1 - q)}{1 + q} = 6 \] \[ q(1 - q) = 6(1 + q) \] \[ q - q^2 = 6 + 6q \] \[ q^2 + 5q + 6 = 0 \]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение относительно \( q \): \[ q^2 + 5q + 6 = 0 \] Дискриминант: \( D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \) Корни: \[ q_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \] \[ q_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 - 1}{2} = -3 \]

Шаг 6: Найдем \( b_1 \) для каждого значения \( q \):

Рассмотрим случай \( q = -2 \)

Подставим \( q = -2 \) во второе уравнение: \[ b_1(-2)^2 + b_1(-2)^3 = -28 \] \[ 4b_1 - 8b_1 = -28 \] \[ -4b_1 = -28 \] \[ b_1 = 7 \]

Рассмотрим случай \( q = -3 \)

Подставим \( q = -3 \) во второе уравнение: \[ b_1(-3)^2 + b_1(-3)^3 = -28 \] \[ 9b_1 - 27b_1 = -28 \] \[ -18b_1 = -28 \] \[ b_1 = \frac{14}{9} \]

Ответ: Для \( q = -2 \), \( b_1 = 7 \). Для \( q = -3 \), \( b_1 = \frac{14}{9} \).