Найдите первообразную функции $$y(x) = \frac{1}{3} \sin(x) + \frac{1}{4} x^4$$ и выберите верный ответ из предложенных.

Решение:

Чтобы найти первообразную функции \( y(x) = \frac{1}{3} \sin(x) + \frac{1}{4} x^4 \), проинтегрируем каждый член отдельно:

• Первообразная от \( \frac{1}{3} \sin(x) \) равна \( \frac{1}{3} (-\cos(x)) = -\frac{\cos(x)}{3} \).
• Первообразная от \( \frac{1}{4} x^4 \) равна \( \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^5}{5} = \frac{x^5}{20} \).
• Таким образом, первообразная \( F(x) \) равна \( -\frac{\cos(x)}{3} + \frac{x^5}{20} + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.

Среди предложенных вариантов, этот соответствует первому:

\( F(x) = -\frac{\cos(x)}{3} + \frac{x^5}{20} + C \)

Ответ: \( F(x) = -\frac{\cos(x)}{3} + \frac{x^5}{20} + C \).