Найдите первообразную функции f(x) = x + 3 и выберите верный ответ из предложенных.

Решение:

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = x + 3 \), нужно проинтегрировать функцию. Правило интегрирования степенной функции \( x^n \) гласит, что её первообразная равна \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \). Первообразная константы \( c \) равна \( cx \).

Применяем правило к нашей функции:

\( F(x) = \int (x + 3) dx = \int x dx + \int 3 dx \)

\( \int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \)

\( \int 3 dx = 3x \)

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = x + 3 \) равна \( F(x) = \frac{x^2}{2} + 3x + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.

Теперь выберем верный ответ из предложенных:

• \( F(x) = \frac{x^2}{2} + 3x \) — этот вариант без константы \( C \), что делает его частным случаем.
• \( F(x) = x^2 + 3x + C \) — здесь степень \( x \) указана неверно.
• \( F(x) = \frac{x^2}{2} + 3x + C \) — этот вариант полностью соответствует найденной первообразной.
• \( F(x) = x^2 + 3x \) — здесь степень \( x \) указана неверно, и отсутствует константа \( C \).

Ответ: \( F(x) = \frac{x^2}{2} + 3x + C \).