Найдите первообразную для функции f(x) = 2/x^3 - 3/x и выберите верный ответ из предложенных.

Решение:

Чтобы найти первообразную для функции \( f(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x} \), проинтегрируем каждый член отдельно:

\( \int \frac{2}{x^3} dx = 2 \int x^{-3} dx = 2 \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C_1 = 2 \frac{x^{-2}}{-2} + C_1 = -x^{-2} + C_1 = -\frac{1}{x^2} + C_1 \)

\( \int \frac{3}{x} dx = 3 \int \frac{1}{x} dx = 3 \ln|x| + C_2 \)

Складывая результаты, получаем первообразную:

\( F(x) = -\frac{1}{x^2} - 3\ln|x| + C \), где \( C = C_1 + C_2 \).

Среди предложенных вариантов:

• \( F(x) = -\frac{1}{x^2} - 3\ln(x) \) - неверно, отсутствует константа \(C\).
• \( F(x) = -\frac{1}{x^2} - 3\ln(x) + C \) - верно, при условии \(x > 0\) для \(\ln(x)\).
• \( F(x) = \frac{1}{x^4} - \frac{3}{x^2} + C \) - неверно, степени и коэффициенты отличаются.
• \( F(x) = -\frac{1}{x^2} - 3 + C \) - неверно, отсутствует логарифмический член.

Ответ: F(x) = -1/x^2 - 3ln(x) + C