Найдите периметр этого треугольника. 18. Тип 16 № 11035 Точка Оравноудалена от всех сторон треугольника. Под каким углом из точки О видна самая длинная сторона треугольника, если его углы равны 22°, 76° и 82°? 19. Тип 17 № 11042 Задумали трехзначное число, все цифры которого различны и вторая цифра которого четная. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 792. Найдите разность наибольшего и наименьшего чисел, удовлетворяющих таким условиям.

Задача 18

Точка О равноудалена от всех сторон треугольника, значит, она является центром вписанной окружности. Центр вписанной окружности – это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектриса делит угол пополам.

• Углы треугольника: 22°, 76° и 82°.
• Половины углов: 11°, 38° и 41°.

Самая длинная сторона лежит напротив большего угла, то есть напротив угла 82°. Значит, искомый угол опирается на угол 82°. Угол, под которым видна самая длинная сторона, равен сумме половин двух других углов: 22° и 76°.

Найдем этот угол: 11° + 38° = 49°.

Ответ: 49°

Задача 19

Задумано трехзначное число, все цифры которого различны, и вторая цифра четная. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 792. Найдите разность наибольшего и наименьшего чисел, удовлетворяющих таким условиям.

Пусть трехзначное число имеет вид \( \overline{abc} \), где a, b, c - цифры числа. Тогда можно записать следующее уравнение: \( \overline{abc} - \overline{cba} = 792 \), или \( (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 792 \).

Раскроем скобки: \( 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 792 \). После упрощения получим: \( 99a - 99c = 792 \). Разделим обе части на 99: \( a - c = 8 \).

Так как a и c – цифры, то возможно только одно решение: a = 9 и c = 1.

Тогда наше трехзначное число имеет вид \( \overline{9b1} \), где b – четная цифра, отличная от 9 и 1. Наибольшее такое число – 981, наименьшее – 901.

Найдем разность между наибольшим и наименьшим числами: 981 - 901 = 80.

Ответ: 80