117. Найдите область определения функции: 1) y = \sqrt{x^2+3x-40}; 2) y = \frac{x+2}{\sqrt{3x-12x^2}}; 3) y = \sqrt{x^2-4x - 21} - \frac{6}{x^2-64}; 4) y = \frac{x-8}{\sqrt{5+19x-4x^2}} + \frac{x-4}{3x^2-x-4}.

Решение:

1) Найдём область определения функции y = \sqrt{x^2+3x-40}. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[x^2 + 3x - 40 \ge 0\] Решим квадратное уравнение x^2 + 3x - 40 = 0 : \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169\] \[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 + 13}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 - 13}{2} = -8\] Тогда неравенство можно переписать в виде: \[(x - 5)(x + 8) \ge 0\] Решением неравенства будет: \[x \in (-\infty; -8] \cup [5; +\infty)\] 2) Найдём область определения функции y = \frac{x+2}{\sqrt{3x-12x^2}}. Подкоренное выражение должно быть положительным: \[3x - 12x^2 > 0\] Разделим на 3: \[x - 4x^2 > 0\] \[x(1 - 4x) > 0\] Найдем корни уравнения x(1 - 4x) = 0: \[x_1 = 0\] \[1 - 4x = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{4}\] Тогда решение неравенства: \[x \in (0; \frac{1}{4})\] 3) Найдём область определения функции y = \sqrt{x^2-4x - 21} - \frac{6}{x^2-64}. * Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[x^2 - 4x - 21 \ge 0\] Решим квадратное уравнение x^2 - 4x - 21 = 0 : \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100\] \[x_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4 - 10}{2} = -3\] Тогда неравенство можно переписать в виде: \[(x - 7)(x + 3) \ge 0\] Решением неравенства будет: \[x \in (-\infty; -3] \cup [7; +\infty)\] * Знаменатель не должен быть равен нулю: \[x^2 - 64
e 0\] \[x
e \pm 8\] Область определения функции: \[x \in (-\infty; -8) \cup (-8; -3] \cup [7; 8) \cup (8; +\infty)\] 4) Найдём область определения функции y = \frac{x-8}{\sqrt{5+19x-4x^2}} + \frac{x-4}{3x^2-x-4}. * Подкоренное выражение должно быть положительным: \[5 + 19x - 4x^2 > 0\] Умножим на -1: \[4x^2 - 19x - 5 < 0\] Решим квадратное уравнение 4x^2 - 19x - 5 = 0 : \[D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 361 + 80 = 441\] \[x_1 = \frac{19 + \sqrt{441}}{8} = \frac{19 + 21}{8} = 5\] \[x_2 = \frac{19 - \sqrt{441}}{8} = \frac{19 - 21}{8} = -\frac{1}{4}\] Тогда неравенство можно переписать в виде: \[4(x - 5)(x + \frac{1}{4}) < 0\] Решением неравенства будет: \[x \in (-\frac{1}{4}; 5)\] * Знаменатель не должен быть равен нулю: \[3x^2 - x - 4
e 0\] Решим квадратное уравнение 3x^2 - x - 4 = 0 : \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49\] \[x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{6} = \frac{1 + 7}{6} = \frac{4}{3}\] \[x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{6} = \frac{1 - 7}{6} = -1\] Тогда \[x
e \frac{4}{3}, x
e -1\] Область определения функции: \[x \in (-\frac{1}{4}; \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}; 5)\]

Ответ: 1) x \in (-\infty; -8] \cup [5; +\infty); 2) x \in (0; \frac{1}{4}); 3) x \in (-\infty; -8) \cup (-8; -3] \cup [7; 8) \cup (8; +\infty); 4) x \in (-\frac{1}{4}; \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}; 5)

Отлично, ты хорошо справляешься с такими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится! Удачи в дальнейшей учебе!