Найдите неизвестные линейные элементы ДМNK (ZK = 90°).

1. Задача 1

   В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом K дана высота KT, опущенная на гипотенузу MN. Известно, что MN = 26 и MK = 10.

   Применим теорему Пифагора к треугольнику MNK: MK² + NK² = MN²

   Тогда NK² = MN² - MK² = 26² - 10² = 676 - 100 = 576

   NK = √576 = 24

   Площадь треугольника MNK можно найти двумя способами:

   S = 0.5 * MK * NK = 0.5 * 10 * 24 = 120

   S = 0.5 * MN * KT

   Тогда KT = (2 * S) / MN = (2 * 120) / 26 = 240 / 26 = 120 / 13

   Ответ: KT = 120/13

2. Задача 2

   В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом K дана высота KL, опущенная на гипотенузу MN. Известно, что MN = 25 и KL = 12.

   Пусть ML = x, тогда NL = 25 - x

   Высота, опущенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу, то есть

   KL² = ML * NL

   12² = x * (25 - x)

   144 = 25x - x²

   x² - 25x + 144 = 0

   Решаем квадратное уравнение:

   D = 25² - 4 * 144 = 625 - 576 = 49

   x1 = (25 + √49) / 2 = (25 + 7) / 2 = 16

   x2 = (25 - √49) / 2 = (25 - 7) / 2 = 9

   То есть ML = 16 или ML = 9

   Тогда, если ML = 16, то NL = 25 - 16 = 9

   Если ML = 9, то NL = 25 - 9 = 16

   Применим теорему Пифагора к треугольнику KML:

   MK² = ML² + KL²

   Если ML = 16, то MK² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400

   MK = √400 = 20

   Если ML = 9, то MK² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225

   MK = √225 = 15

   Ответ: MK = 20 или MK = 15

3. Задача 3

   В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом K дана высота KE, опущенная на гипотенузу MN. Известно, что ME = 6 и EN = 8.

   Применим свойство высоты прямоугольного треугольника: KE² = ME * EN

   KE² = 6 * 8 = 48

   KE = √48 = √(16 * 3) = 4√3

   Применим теорему Пифагора к треугольнику MKE:

   MK² = ME² + KE² = 6² + (4√3)² = 36 + 48 = 84

   MK = √84 = √(4 * 21) = 2√21

   Применим теорему Пифагора к треугольнику NKE:

   NK² = EN² + KE² = 8² + (4√3)² = 64 + 48 = 112

   NK = √112 = √(16 * 7) = 4√7

   Ответ: KE = 4√3, MK = 2√21, NK = 4√7

4. Задача 4

   В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом K дана высота KT, опущенная на гипотенузу MN. Известно, что MK = 5 и NK = 12.

   Применим теорему Пифагора к треугольнику MNK: MN² = MK² + NK²

   MN² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169

   MN = √169 = 13

   Площадь треугольника MNK можно найти как S = 0.5 * MK * NK = 0.5 * 5 * 12 = 30

   KT - высота, опущенная на гипотенузу, тогда S = 0.5 * MN * KT

   KT = (2 * S) / MN = (2 * 30) / 13 = 60 / 13

   Ответ: MN = 13, KT = 60/13

5. Задача 5

   В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом K дана высота KE, опущенная на гипотенузу MN. Известно, что MN = 25 и MK = 10.

   Применим теорему Пифагора к треугольнику MNK: MK² + NK² = MN²

   Тогда NK² = MN² - MK² = 25² - 10² = 625 - 100 = 525

   NK = √525 = √(25 * 21) = 5√21

   Площадь треугольника MNK можно найти двумя способами:

   S = 0.5 * MK * NK = 0.5 * 10 * 5√21 = 25√21

   S = 0.5 * MN * KE

   Тогда KE = (2 * S) / MN = (2 * 25√21) / 25 = 2√21

   Ответ: NK = 5√21, KE = 2√21

6. Задача 6

   В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом K дана высота KF, опущенная на гипотенузу MN. Известно, что MN = 50 и KN : KM = 3 : 4.

   Пусть KN = 3x, тогда KM = 4x

   Применим теорему Пифагора к треугольнику MNK: MN² = KN² + KM²

   50² = (3x)² + (4x)²

   2500 = 9x² + 16x² = 25x²

   x² = 100

   x = 10

   Тогда KN = 3 * 10 = 30, KM = 4 * 10 = 40

   Площадь треугольника MNK равна S = 0.5 * KN * KM = 0.5 * 30 * 40 = 600

   Также площадь можно найти как S = 0.5 * MN * KF

   KF = (2 * S) / MN = (2 * 600) / 50 = 1200 / 50 = 24

   Ответ: KN = 30, KM = 40, KF = 24

7. Задача 7

   В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом K дана высота KT, опущенная на гипотенузу MN. Известно, что TN - MT = 11 и KN : KM = 6 : 5.

   Пусть KN = 6x, KM = 5x, TN = y, MT = y - 11

   Применим теорему Пифагора к треугольнику KNT: KN² = KT² + TN²

   (6x)² = KT² + y²

   Применим теорему Пифагора к треугольнику KMT: KM² = KT² + MT²

   (5x)² = KT² + (y - 11)²

   Выразим KT² из обоих уравнений:

   KT² = 36x² - y²

   KT² = 25x² - (y - 11)² = 25x² - (y² - 22y + 121)

   Приравняем:

   36x² - y² = 25x² - y² + 22y - 121

   11x² = 22y - 121

   x² = 2y - 11

   Применим теорему Пифагора к треугольнику MNK: MN² = KN² + KM²

   (TN + MT)² = KN² + KM²

   (y + y - 11)² = (6x)² + (5x)²

   (2y - 11)² = 36x² + 25x²

   4y² - 44y + 121 = 61x²

   Подставим x² = 2y - 11:

   4y² - 44y + 121 = 61 * (2y - 11)

   4y² - 44y + 121 = 122y - 671

   4y² - 166y + 792 = 0

   2y² - 83y + 396 = 0

   D = 83² - 4 * 2 * 396 = 6889 - 3168 = 3721 = 61²

   y1 = (83 + 61) / 4 = 144 / 4 = 36

   y2 = (83 - 61) / 4 = 22 / 4 = 5.5

   Если y = 36, то TN = 36, MT = 36 - 11 = 25

   Если y = 5.5, то TN = 5.5, MT = 5.5 - 11 = -5.5 - не подходит, так как длина не может быть отрицательной

   Тогда TN = 36, MT = 25

   MN = TN + MT = 36 + 25 = 61

   x² = 2 * 36 - 11 = 72 - 11 = 61

   x = √61

   KN = 6√61

   KM = 5√61

   Применим теорему Пифагора к треугольнику KNT: KT² = KN² - TN²

   KT² = (6√61)² - 36² = 36 * 61 - 1296 = 2196 - 1296 = 900

   KT = √900 = 30

   Ответ: TN = 36, MT = 25, MN = 61, KN = 6√61, KM = 5√61, KT = 30

8. Задача 8

   В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом K дана высота KF, опущенная на гипотенузу MN. Известно, что ME = EN и MK = 3√5, NK = 6.

   Так как ME = EN, то E - середина MN, значит KE - медиана, проведенная к гипотенузе, и KE = 0.5 * MN

   Применим теорему Пифагора к треугольнику MNK: MN² = MK² + NK²

   MN² = (3√5)² + 6² = 9 * 5 + 36 = 45 + 36 = 81

   MN = √81 = 9

   Тогда KE = 0.5 * MN = 0.5 * 9 = 4.5

   Применим теорему Пифагора к треугольнику KFN: KF² = NK² - FN²

   FN = 0.5 * EN = 0.5 * 4.5 = 2.25

   KF² = 6² - 2.25² = 36 - 5.0625 = 30.9375

   KF = √30.9375 ≈ 5.56

   Ответ: MN = 9, KE = 4.5, KF = √30.9375 ≈ 5.56

Ответ: смотри решение выше

Result Card

Ты получил статус «Геометрический Гений»!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена