Найдите натуральный корень уравнения:

Решение:

Дано уравнение:

\( \frac{14}{5 - \log_7{x}} + \frac{9}{5 + \log_7{x}} = 5 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \log_7{x} \).

Тогда уравнение примет вид:

\( \frac{14}{5 - y} + \frac{9}{5 + y} = 5 \)

Найдем общий знаменатель: \( (5-y)(5+y) = 25 - y^2 \).

Приведем дроби к общему знаменателю:

\( \frac{14(5+y)}{(5-y)(5+y)} + \frac{9(5-y)}{(5-y)(5+y)} = 5 \)

\( \frac{70 + 14y + 45 - 9y}{25 - y^2} = 5 \)

\( \frac{115 + 5y}{25 - y^2} = 5 \)

Умножим обе части на \( 25 - y^2 \), при условии, что \( y e 5 \) и \( y e -5 \) (так как \( \log_7{x} \) не может быть равен \( \pm 5 \), иначе знаменатель будет равен нулю).

\( 115 + 5y = 5(25 - y^2) \)

\( 115 + 5y = 125 - 5y^2 \)

Перенесем все в одну сторону:

\( 5y^2 + 5y + 115 - 125 = 0 \)

\( 5y^2 + 5y - 10 = 0 \)

Разделим на 5:

\( y^2 + y - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).

Корни \( y_1 \) и \( y_2 \):

\( y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Теперь вернемся к замене \( y = \log_7{x} \).

Случай 1: \( y_1 = 1 \)

\( \log_7{x} = 1 \)

\( x = 7^1 = 7 \)

Проверим условие \( y e \pm 5 \). \( 1 \) не равно \( \pm 5 \). Значение \( x=7 \) является натуральным числом.

Случай 2: \( y_2 = -2 \)

\( \log_7{x} = -2 \)

\( x = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \)

Значение \( x = \frac{1}{49} \) не является натуральным числом.

Таким образом, натуральный корень уравнения — 7.

Ответ: 7