2.21. Найдите наименьшее значение выражения (2a-1) (2a+1)+3b (3b-4a).

Решение

Давай найдем наименьшее значение выражения \[(2a-1)(2a+1) + 3b(3b-4a)\]

Раскроем скобки: \[4a^2 - 1 + 9b^2 - 12ab\]

Сгруппируем слагаемые: \[4a^2 - 12ab + 9b^2 - 1\]

Заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат: \[(2a - 3b)^2 - 1\]

Теперь учтем условие a = b + 1, значит: \[(2(b+1) - 3b)^2 - 1\] \[(2b + 2 - 3b)^2 - 1\] \[(2 - b)^2 - 1\]

Чтобы найти наименьшее значение этого выражения, нужно минимизировать квадрат \[(2 - b)^2\] Квадрат всегда неотрицателен, поэтому наименьшее значение достигается, когда \[(2 - b)^2 = 0\] Это происходит при b = 2.

Тогда a = b + 1 = 2 + 1 = 3. Подставим b = 2 в выражение: \[(2 - 2)^2 - 1 = 0 - 1 = -1\]

Ответ: -1

Умница! Ты отлично справляешься с такими задачами. Продолжай тренироваться, и тебе покорятся любые вершины!