Найдите наименьшее значение выражения \(\frac{15^n}{3^{n-1}\cdot 5^{n+2}}\) при различных натуральных \(n\).

Упростим выражение:

\[\frac{15^n}{3^{n-1}\cdot 5^{n+2}}=\frac{3^n\cdot 5^n}{3^{n-1}\cdot 5^n\cdot 5^2}=\frac{3}{25}.\]

Полученное значение не зависит от натурального \(n\), поэтому при любых различных натуральных \(n\) выражение имеет одно и то же значение.

Ответ: \(\frac{3}{25}\).