Найдите наименьшее значение функции y = x²eˣ на отрезке [-1;1].

Поиск наименьшего значения функции

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = x^2 e^x \) на отрезке \( [-1; 1] \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Находим производную функции:
   Используем правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = x^2 \) и \( v = e^x \).
   Тогда \( u' = 2x \) и \( v' = e^x \>.
   Производная будет: \[ y' = (x^2)' e^x + x^2 (e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x \].
   Вынесем общий множитель \( e^x \>: \[ y' = e^x (2x + x^2) \].
2. Находим критические точки:
   Приравниваем производную к нулю, чтобы найти точки, где функция может иметь экстремум: \[ e^x (2x + x^2) = 0 \].
   Так как \( e^x \) всегда больше нуля, то решаем уравнение: \[ 2x + x^2 = 0 \>.
   Выносим \( x \) за скобки: \[ x(2 + x) = 0 \>.
   Получаем две критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -2 \>.
3. Проверяем, попадают ли критические точки в заданный отрезок:
   Наш отрезок: \( [-1; 1] \>.
   Точка \( x_1 = 0 \) принадлежит отрезку.
4. Вычисляем значения функции в критических точках, попавших в отрезок, и на концах отрезка:
   
   • Значение в точке \( x = -1 \) (левая граница отрезка):
     \( y(-1) = (-1)^2 · e^{-1} = 1 · \frac{1}{e} = \frac{1}{e} \>.
     Приблизительно \( \frac{1}{2.718} ≈ 0.368 \>.
   • Значение в точке \( x = 0 \) (критическая точка):
     \( y(0) = (0)^2 · e^0 = 0 · 1 = 0 \>.
     
   • Значение в точке \( x = 1 \) (правая граница отрезка):
     \( y(1) = (1)^2 · e^1 = 1 · e = e \>.
     Приблизительно \( e ≈ 2.718 \>.
5. Сравниваем полученные значения:
   Мы получили значения: \( \frac{1}{e} ≈ 0.368 \), \( 0 \) и \( e ≈ 2.718 \>.
   Наименьшее из этих значений — \( 0 \>.
   

Ответ: Наименьшее значение функции равно 0.