Найдите наименьшее значение функции y = (x - 8)e^(x-7) на отрезке [6; 8].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке, сначала найдём её производную.

1. Найдём производную функции \( y = (x-8)e^{x-7} \) с помощью правила произведения \( (uv)' = u'v + uv' \):
• \( u = x-8 \), \( u' = 1 \)
• \( v = e^{x-7} \), \( v' = e^{x-7} \cdot 1 = e^{x-7} \)
2. \( y' = 1 \cdot e^{x-7} + (x-8) \cdot e^{x-7} = e^{x-7}(1 + x - 8) = e^{x-7}(x-7) \)
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( e^{x-7}(x-7) = 0 \). Так как \( e^{x-7} \) всегда больше нуля, то \( x-7 = 0 \), следовательно \( x = 7 \).
4. Проверим значение функции в критической точке \( x=7 \) и на концах отрезка \( [6; 8] \):
• \( y(6) = (6-8)e^{6-7} = -2e^{-1} = -\frac{2}{e} \)
• \( y(7) = (7-8)e^{7-7} = -1e^{0} = -1 \)
• \( y(8) = (8-8)e^{8-7} = 0e^{1} = 0 \)
5. Сравним полученные значения: \( -\frac{2}{e} \approx -0.736 \), \( -1 \), \( 0 \).
6. Наименьшее значение функции на отрезке \( [6; 8] \) равно \( -1 \) и достигается при \( x = 7 \).

Ответ: -1