Найдите наименьшее значение функции y=(x²-10x+10)e²-* на отрезке [−1; 7].

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = (x^2 - 10x + 10)e^{-x} \) на отрезке \( [-1; 7] \), найдём производную функции и определим критические точки.

1. Найдем производную функции \( y' \) с помощью правила произведения \( (uv)' = u'v + uv' \):
   \( u = x^2 - 10x + 10 \) \( u' = 2x - 10 \)
   \( v = e^{-x} \) \( v' = -e^{-x} \)
   
   \( y' = (2x - 10)e^{-x} + (x^2 - 10x + 10)(-e^{-x}) \)
   \( y' = e^{-x} (2x - 10 - (x^2 - 10x + 10)) \)
   \( y' = e^{-x} (2x - 10 - x^2 + 10x - 10) \)
   \( y' = e^{-x} (-x^2 + 12x - 20) \)
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( y' = 0 \)
   \( e^{-x} (-x^2 + 12x - 20) = 0 \)
   Так как \( e^{-x} \) всегда больше нуля, решаем квадратное уравнение:
   \( -x^2 + 12x - 20 = 0 \)
   \( x^2 - 12x + 20 = 0 \)
   Используем формулу корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
   \( x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1} \)
   \( x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2} \)
   \( x = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{2} \)
   \( x = \frac{12 \pm 8}{2} \)
   \( x_1 = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
   \( x_2 = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
3. Проверим, попадают ли критические точки в заданный отрезок \( [-1; 7] \).
   \( x_1 = 10 \) не входит в отрезок \( [-1; 7] \).
   \( x_2 = 2 \) входит в отрезок \( [-1; 7] \).
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попавшей в отрезок: \( x = -1, x = 2, x = 7 \).
   \( y(-1) = ((-1)^2 - 10(-1) + 10)e^{-(-1)} = (1 + 10 + 10)e^1 = 21e \)
   \( y(2) = (2^2 - 10(2) + 10)e^{-2} = (4 - 20 + 10)e^{-2} = -6e^{-2} \)
   \( y(7) = (7^2 - 10(7) + 10)e^{-7} = (49 - 70 + 10)e^{-7} = -11e^{-7} \)
5. Сравним полученные значения: \( 21e \), \( -6e^{-2} \), \( -11e^{-7} \).
   Значение \( 21e \) — положительное.
   Значения \( -6e^{-2} \) и \( -11e^{-7} \) — отрицательные.
6. Сравним отрицательные значения:
   \( e^{-2} \approx 0.135 \) \( -6e^{-2} \approx -0.81 \)
   \( e^{-7} \approx 0.00091 \) \( -11e^{-7} \approx -0.00001 \)
   Очевидно, что \( -0.81 \) меньше, чем \( -0.00001 \).
7. Таким образом, наименьшее значение функции равно \( -6e^{-2} \).

Ответ: Наименьшее значение функции равно \( -6e^{-2} \).