Найдите наименьшее значение функции у = (x -8)ex-7 на отрезке [6;8].

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции: \(y' = (x - 8)'e^{x-7} + (x - 8)(e^{x-7})' = e^{x-7} + (x - 8)e^{x-7} = e^{x-7}(1 + x - 8) = e^{x-7}(x - 7)\)
2. Приравняем производную к нулю: \(e^{x-7}(x - 7) = 0\). Так как \(e^{x-7} > 0\) при любом x, то \(x - 7 = 0\), откуда \(x = 7\).
3. Проверим, принадлежит ли найденный корень отрезку [6;8]: \(6 \le 7 \le 8\), значит, принадлежит.
4. Вычислим значение функции в точке x = 7 и на концах отрезка x = 6 и x = 8:
   • \(y(6) = (6 - 8)e^{6-7} = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}\)
   • \(y(7) = (7 - 8)e^{7-7} = -1e^{0} = -1\)
   • \(y(8) = (8 - 8)e^{8-7} = 0e^{1} = 0\)
5. Сравним полученные значения: \(-{\frac{2}{e}} \approx -0.736\); \(-1\); \(0\). Наименьшее значение равно -1.

Ответ: -1