12 Найдите наименьшее значение функции у = (х-67) ех-66 на отрезке [65; 67]. Ответ:

Найдем наименьшее значение функции $$y = (x - 67)e^{x - 66}$$ на отрезке $$[65; 67]$$.

Найдем производную функции:

$$y' = (x - 67)'e^{x - 66} + (x - 67)(e^{x - 66})' = e^{x - 66} + (x - 67)e^{x - 66} = e^{x - 66}(1 + x - 67) = e^{x - 66}(x - 66)$$.

Найдем нули производной:

$$y' = 0$$

$$e^{x - 66}(x - 66) = 0$$

$$e^{x - 66}
eq 0$$ при любых x, следовательно:

$$x - 66 = 0$$

$$x = 66$$

Проверим, что это точка минимума, для этого найдем знаки производной на отрезках $$[65; 66]$$ и $$[66; 67]$$

На отрезке $$[65; 66]$$ производная отрицательна, а на отрезке $$[66; 67]$$ положительна, значит x = 66 - точка минимума.

Вычислим значение функции в точке минимума:

$$y(66) = (66 - 67)e^{66 - 66} = -1 * e^0 = -1$$

Ответ: -1