Найдите наименьшее значение функции \(y = e^{2x} - 5e^x - 2\) на отрезке \([-2; 1]\).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции: \(y' = 2e^{2x} - 5e^x\)
2. Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
   \[2e^{2x} - 5e^x = 0\]\[e^x(2e^x - 5) = 0\]Так как \(e^x
   eq 0\), то:\[2e^x - 5 = 0\]\[e^x = \frac{5}{2}\]\[x = \ln{\frac{5}{2}}\]
3. Шаг 3: Проверяем, принадлежит ли критическая точка отрезку \([-2; 1]\):
   Так как \(\ln{\frac{5}{2}} \approx 0.916\), то точка принадлежит отрезку.
4. Шаг 4: Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   \[y(-2) = e^{-4} - 5e^{-2} - 2 \approx -2.626\]\[y(1) = e^{2} - 5e - 2 \approx -10.297\]\[y(\ln{\frac{5}{2}}) = e^{2\ln{\frac{5}{2}}} - 5e^{\ln{\frac{5}{2}}} - 2 = (\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}) - 2 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 2 = \frac{25 - 50 - 8}{4} = -\frac{33}{4} = -8.25\]
5. Шаг 5: Сравниваем полученные значения и выбираем наименьшее.

Ответ: -10.297