Найдите наименьшее значение функции \( y = 32 \sin x - 35x + 30 \) на отрезке \( [-\frac{3\pi}{2}; 0] \).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции:

\[y' = (32 \sin x - 35x + 30)' = 32 \cos x - 35\]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[32 \cos x - 35 = 0\]\[\cos x = \frac{35}{32}\]

Так как \( \frac{35}{32} > 1 \), уравнение не имеет решений, поскольку область значений косинуса ограничена \( [-1; 1] \).

3. Проверим значения функции на концах отрезка:

\[y(-\frac{3\pi}{2}) = 32 \sin(-\frac{3\pi}{2}) - 35(-\frac{3\pi}{2}) + 30 = 32 \cdot 1 + 35 \cdot \frac{3\pi}{2} + 30 = 32 + \frac{105\pi}{2} + 30 = 62 + \frac{105\pi}{2}\]\[y(0) = 32 \sin 0 - 35 \cdot 0 + 30 = 0 - 0 + 30 = 30\]

Теперь сравним значения \( 30 \) и \( 62 + \frac{105\pi}{2} \).

\[62 + \frac{105\pi}{2} \approx 62 + \frac{105 \cdot 3.14}{2} \approx 62 + 164.85 \approx 226.85\]

Таким образом, наименьшее значение функции достигается в точке \( x = 0 \).

Ответ: 30