Найдите наименьшее положительное целое решение неравенства \(\sqrt{x+14} \le x+2\).

Давай разберем по порядку, как решить это неравенство. Сначала нужно избавиться от квадратного корня, а потом найти наименьшее положительное целое решение. 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(x + 14 \ge 0\), следовательно, \(x \ge -14\). 2. Возведем обе части неравенства в квадрат: Чтобы избавиться от корня, возведем обе части неравенства в квадрат. Поскольку обе части неравенства могут быть как положительными, так и отрицательными (но корень всегда положителен), необходимо учитывать условие \(x + 2 \ge 0\), то есть \(x \ge -2\). Тогда: \[(\sqrt{x+14})^2 \le (x+2)^2\] \[x+14 \le x^2 + 4x + 4\] 3. Преобразуем неравенство: Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство: \[0 \le x^2 + 3x - 10\] \[x^2 + 3x - 10 \ge 0\] 4. Решим квадратное неравенство: Разложим квадратный трехчлен на множители. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 3x - 10 = 0\) через дискриминант или теорему Виета. Здесь удобно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней \(x_1 + x_2 = -3\), а произведение \(x_1 \cdot x_2 = -10\). Тогда корни \(x_1 = -5\) и \(x_2 = 2\). Итак, \(x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5)\). Неравенство принимает вид: \[(x - 2)(x + 5) \ge 0\] 5. Найдем интервалы, удовлетворяющие неравенству: Неравенство выполняется, когда оба множителя одновременно положительны или одновременно отрицательны. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале:

     +       -       +
-----(-5)-----(2)----->

Итак, \(x \le -5\) или \(x \ge 2\). 6. Учтем ОДЗ и дополнительные условия: Мы нашли, что \(x \ge -14\) из ОДЗ и \(x \ge -2\) для возведения в квадрат. Совместим все условия: * \(x \ge -14\) * \(x \ge -2\) * \(x \le -5\) или \(x \ge 2\) Получаем, что \(x \in [-2, -5] \cup [2, +\infty)\). Но учитывая, что \(x \le -5\) не удовлетворяет условию \(x \ge -2\), остается только \(x \ge 2\). 7. Найдем наименьшее положительное целое решение: Наименьшее положительное целое число, удовлетворяющее условию \(x \ge 2\), это \(2\).

Ответ: 2