Найдите наименьшее натуральное число n такое, что произведение всех чисел от 1 до n делится на 18, на 19, на 20 и на 21?

Решение:

Нам нужно найти наименьшее натуральное число \( n \), такое, что произведение всех чисел от 1 до \( n \) (то есть \( n! \)) делится на 18, 19, 20 и 21. Это означает, что \( n! \) должно быть кратно наименьшему общему кратному (НОК) этих чисел.

1. Разложим числа на простые множители:
   • \( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
   • \( 19 = 19 \) (простое число)
   • \( 20 = 2^2 \cdot 5 \)
   • \( 21 = 3 \cdot 7 \)
2. Найдем НОК(18, 19, 20, 21), взяв максимальные степени всех простых множителей, входящих в разложение этих чисел:
   • Наибольшая степень 2: \( 2^2 \)
   • Наибольшая степень 3: \( 3^2 \)
   • Наибольшая степень 5: \( 5^1 \)
   • Наибольшая степень 7: \( 7^1 \)
   • Наибольшая степень 19: \( 19^1 \)
3. НОК(18, 19, 20, 21) = \( 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 = 4 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 = 36 \cdot 35 \cdot 19 = 1260 \cdot 19 = 23940 \)
4. Теперь нам нужно найти наименьшее \( n \), такое, что \( n! \) делится на 23940. Это значит, что в разложении \( n! \) на простые множители должны присутствовать все множители из НОК в соответствующих степенях.
5. Проверим числа, входящие в НОК: \( 2^2, 3^2, 5, 7, 19 \).
6. Наибольший простой множитель в НОК — это 19. Значит, \( n \) должно быть как минимум 19, чтобы \( n! \) содержал множитель 19.
7. Проверим, содержит ли \( 19! \) все остальные множители в нужных степенях:
   • \( 19! \) содержит \( 2^2 \) (есть 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
   • \( 19! \) содержит \( 3^2 \) (есть 3, 6, 9, 12, 15, 18)
   • \( 19! \) содержит \( 5^1 \) (есть 5, 10, 15)
   • \( 19! \) содержит \( 7^1 \) (есть 7, 14)
8. Таким образом, \( 19! \) делится на 18, 19, 20 и 21.

Ответ: 19