Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Найдите наибольшее значение функции y = 12 cos x + 6√3 * x - 2√3π + 6 на отрезке [0; π/2].
Ответ:
Разбираемся:
Краткое пояснение: Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке нужно найти производную функции, приравнять её к нулю, найти корни уравнения на заданном отрезке и вычислить значение функции в этих точках и на концах отрезка.
Пошаговое решение:
- Находим производную функции:
\[y' = (12 cos x + 6\sqrt{3} x - 2\sqrt{3} \pi + 6)'\]\[y' = -12 sin x + 6\sqrt{3}\] - Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
\[-12 sin x + 6\sqrt{3} = 0\]\[sin x = \frac{6\sqrt{3}}{12}\]\[sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\]\[x = \frac{\pi}{3}\] - Вычисляем значение функции на концах отрезка и в точке x = π/3:
\[y(0) = 12 cos 0 + 6\sqrt{3} \cdot 0 - 2\sqrt{3} \pi + 6 = 12 - 2\sqrt{3} \pi + 6 = 18 - 2\sqrt{3} \pi\]\[y(\frac{\pi}{2}) = 12 cos \frac{\pi}{2} + 6\sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{2} - 2\sqrt{3} \pi + 6 = 0 + 3\sqrt{3} \pi - 2\sqrt{3} \pi + 6 = \sqrt{3} \pi + 6\]\[y(\frac{\pi}{3}) = 12 cos \frac{\pi}{3} + 6\sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} - 2\sqrt{3} \pi + 6 = 12 \cdot \frac{1}{2} + 2\sqrt{3} \pi - 2\sqrt{3} \pi + 6 = 6 + 6 = 12\] - Сравниваем значения функции:
\[y(0) = 18 - 2\sqrt{3} \pi \approx 18 - 2 \cdot 1.73 \cdot 3.14 \approx 18 - 10.87 \approx 7.13\]\[y(\frac{\pi}{2}) = \sqrt{3} \pi + 6 \approx 1.73 \cdot 3.14 + 6 \approx 5.44 + 6 = 11.44\]\[y(\frac{\pi}{3}) = 12\]
Ответ: Наибольшее значение функции равно 12.
Похожие
