Найдите наибольшее значение функции y=-2x^2+8x+3 на отрезке [0;5].

Решение:

Найдём наибольшее значение квадратичной функции \( y = -2x^2 + 8x + 3 \) на отрезке \( [0;5] \).

1. Найдем производную функции: \( y' = -4x + 8 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( -4x + 8 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 2 \).
3. Проверим, входит ли критическая точка \( x = 2 \) в заданный отрезок \( [0;5] \). Да, входит.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   • \( y(0) = -2(0)^2 + 8(0) + 3 = 3 \)
   • \( y(2) = -2(2)^2 + 8(2) + 3 = -2(4) + 16 + 3 = -8 + 16 + 3 = 11 \)
   • \( y(5) = -2(5)^2 + 8(5) + 3 = -2(25) + 40 + 3 = -50 + 40 + 3 = -7 \)
5. Сравним полученные значения: 3, 11, -7. Наибольшее значение равно 11.

Ответ: 11.