Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее системе неравенств \begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{4 - 4x}{10} \le \frac{3x + 2}{20} - \frac{5 - 3x}{2} + 4,\\ 3x > \frac{4x + 1}{4} - \frac{5 - 6x}{2} - 2.75. \end{cases}

Решение

Давай решим эту систему неравенств по шагам.

Первое неравенство:

\[\frac{x}{5} - \frac{4 - 4x}{10} \le \frac{3x + 2}{20} - \frac{5 - 3x}{2} + 4\]

Приведем все дроби к общему знаменателю 20:

\[\frac{4x}{20} - \frac{2(4 - 4x)}{20} \le \frac{3x + 2}{20} - \frac{10(5 - 3x)}{20} + \frac{80}{20}\]

Умножим обе части на 20, чтобы избавиться от знаменателя:

\[4x - 2(4 - 4x) \le 3x + 2 - 10(5 - 3x) + 80\]

Раскроем скобки:

\[4x - 8 + 8x \le 3x + 2 - 50 + 30x + 80\]

Приведем подобные члены:

\[12x - 8 \le 33x + 32\]

Перенесем все переменные в одну сторону, а числа в другую:

\[12x - 33x \le 32 + 8\] \[-21x \le 40\]

Разделим обе части на -21 (не забудем поменять знак неравенства, так как делим на отрицательное число):

\[x \ge -\frac{40}{21}\]

Второе неравенство:

\[3x > \frac{4x + 1}{4} - \frac{5 - 6x}{2} - 2.75\]

Приведем все дроби к общему знаменателю 4:

\[3x > \frac{4x + 1}{4} - \frac{2(5 - 6x)}{4} - \frac{4(2.75)}{4}\]

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\[12x > 4x + 1 - 2(5 - 6x) - 11\]

Раскроем скобки:

\[12x > 4x + 1 - 10 + 12x - 11\]

Приведем подобные члены:

\[12x > 16x - 20\]

Перенесем все переменные в одну сторону, а числа в другую:

\[12x - 16x > -20\] \[-4x > -20\]

Разделим обе части на -4 (не забудем поменять знак неравенства, так как делим на отрицательное число):

\[x < 5\]

Совместное решение:

Теперь у нас есть два неравенства:

\[x \ge -\frac{40}{21} \approx -1.905\] \[x < 5\]

Так как нам нужно наибольшее целое число, удовлетворяющее обоим неравенствам, то это число 4.

Ответ: 4

Отлично! Ты справился с решением этой системы неравенств. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!