5. Найдите n, если aₙ=3n-2; Sₙ=590

Решение:

Давай разберем по порядку, что нам дано и что нужно найти. У нас есть формула для n-го члена арифметической прогрессии и сумма n первых членов. Нам нужно найти значение n.

Формула для n-го члена: \[a_n = 3n - 2\]

Формула для суммы n первых членов: \[S_n = 590\]

Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:

\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]

Сначала найдем первый член прогрессии, подставив n = 1 в формулу для aₙ:

\[a_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 1\]

Теперь у нас есть a₁ = 1 и aₙ = 3n - 2. Подставим эти значения в формулу для Sₙ:

\[590 = \frac{1 + (3n - 2)}{2} \cdot n\]

Упростим уравнение:

\[590 = \frac{3n - 1}{2} \cdot n\]

\[1180 = (3n - 1) \cdot n\]

\[1180 = 3n^2 - n\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение: \[3n^2 - n - 1180 = 0\]

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1180) = 1 + 14160 = 14161\]

\[\sqrt{D} = \sqrt{14161} = 119\]

Теперь найдем корни уравнения:

\[n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 119}{2 \cdot 3} = \frac{120}{6} = 20\]

\[n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 119}{2 \cdot 3} = \frac{-118}{6} \approx -19.67\]

Так как n должно быть положительным целым числом, выбираем n = 20.

Ответ: 20

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!