290. Найдите множество решений неравенства: a) 5(x – 13)(x + 24) < 0; б) -(x +)(x +)≥0; в) (х + 12)(3 - x) > 0; г) (6 + x)(3x – 1) ≤ 0.

Привет! Давай решим эти неравенства вместе, шаг за шагом. Я уверена, у нас всё получится! а) 5(x – 13)(x + 24) < 0 Чтобы решить это неравенство, нужно найти значения x, при которых выражение меняет знак. Это происходит в точках, где каждый из множителей равен нулю: x – 13 = 0 => x = 13 x + 24 = 0 => x = -24 Теперь у нас есть две точки: -24 и 13. Они разбивают числовую прямую на три интервала: (-∞, -24), (-24, 13) и (13, +∞). Проверим знак выражения на каждом из этих интервалов: Интервал (-∞, -24): Возьмем x = -25. Тогда 5(-25 – 13)(-25 + 24) = 5(-38)(-1) > 0 Интервал (-24, 13): Возьмем x = 0. Тогда 5(0 – 13)(0 + 24) = 5(-13)(24) < 0 Интервал (13, +∞): Возьмем x = 14. Тогда 5(14 – 13)(14 + 24) = 5(1)(38) > 0 Таким образом, неравенство выполняется на интервале (-24, 13). б) \(-\frac{1}{7}x + 1\)(\frac{1}{3}x + 1) \ge 0 Чтобы решить это неравенство, найдем значения x, при которых выражение меняет знак: \(-\frac{1}{7}x + 1 = 0 => -\frac{1}{7}x = -1 => x = 7\) \(\frac{1}{3}x + 1 = 0 => \frac{1}{3}x = -1 => x = -3\) Теперь у нас есть две точки: -3 и 7. Они разбивают числовую прямую на три интервала: (-∞, -3], [-3, 7] и [7, +∞). Проверим знак выражения на каждом из этих интервалов: Интервал (-∞, -3]: Возьмем x = -4. Тогда \(-\frac{1}{7}(-4) + 1\)(\frac{1}{3}(-4) + 1) = (\frac{4}{7} + 1\)(-\frac{4}{3} + 1) = (\frac{11}{7}\)(-\frac{1}{3}) < 0 Интервал [-3, 7]: Возьмем x = 0. Тогда \(-\frac{1}{7}(0) + 1\)(\frac{1}{3}(0) + 1) = (1)(1) > 0 Интервал [7, +∞): Возьмем x = 8. Тогда \(-\frac{1}{7}(8) + 1\)(\frac{1}{3}(8) + 1) = (-\frac{8}{7} + 1\)(\frac{8}{3} + 1) = (-\frac{1}{7}\)(\frac{11}{3}) < 0 Таким образом, неравенство выполняется на интервале [-3, 7]. в) (x + 12)(3 - x) > 0 Чтобы решить это неравенство, найдем значения x, при которых выражение меняет знак: x + 12 = 0 => x = -12 3 - x = 0 => x = 3 Теперь у нас есть две точки: -12 и 3. Они разбивают числовую прямую на три интервала: (-∞, -12), (-12, 3) и (3, +∞). Проверим знак выражения на каждом из этих интервалов: Интервал (-∞, -12): Возьмем x = -13. Тогда (-13 + 12)(3 - (-13)) = (-1)(16) < 0 Интервал (-12, 3): Возьмем x = 0. Тогда (0 + 12)(3 - 0) = (12)(3) > 0 Интервал (3, +∞): Возьмем x = 4. Тогда (4 + 12)(3 - 4) = (16)(-1) < 0 Таким образом, неравенство выполняется на интервале (-12, 3). г) (6 + x)(3x – 1) \le 0 Чтобы решить это неравенство, найдем значения x, при которых выражение меняет знак: 6 + x = 0 => x = -6 3x – 1 = 0 => 3x = 1 => x = \frac{1}{3} Теперь у нас есть две точки: -6 и \frac{1}{3}. Они разбивают числовую прямую на три интервала: (-∞, -6], [-6, \frac{1}{3}] и [\frac{1}{3}, +∞). Проверим знак выражения на каждом из этих интервалов: Интервал (-∞, -6]: Возьмем x = -7. Тогда (6 + (-7))(3(-7) – 1) = (-1)(-22) > 0 Интервал [-6, \frac{1}{3}]: Возьмем x = 0. Тогда (6 + 0)(3(0) – 1) = (6)(-1) < 0 Интервал [\frac{1}{3}, +∞): Возьмем x = 1. Тогда (6 + 1)(3(1) – 1) = (7)(2) > 0 Таким образом, неравенство выполняется на интервале [-6, \frac{1}{3}].

Ответ: а) (-24, 13); б) [-3, 7]; в) (-12, 3); г) [-6, \(\frac{1}{3}\)]

Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Молодец!