265. Найдите множество решений неравенства: a) 2x² + 3x-5 ≥ 0; 266. Решите неравенство: a) 2x² + 13x - 7 > 0; б) -9x² + 12x - 4 < 0; в) 6x² - 13x + 5 ≤ 0; г) -2x² - 5x + 18 < 0; д) 3x² - 2x > 0; e) 8 - x² < 0. б) -6x² + 6x + 36 ≥ 0; в) -x² + 50 267. Найдите, при каких значениях х трёхчлен: a) 2x² + 5x + 3 принимает положительные значения; 6)-x²-x 1 1 принимает отрицательные значения. 3 36 268. Решите неравенство: a) x² < 16; в) 0,2x² > 1,8; г) -5x² <x; д) 3х² < -2x; e) 7x < x². б) х² ≥ 3; 269. Решите неравенство: a) 0,01x2 < 1: в) 4x <-x²; .2. д) 5х² > 2x;

265. Найдите множество решений неравенства:

a) \(2x^2 + 3x - 5 \ge 0\)

Логика такая:

1. Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 + 3x - 5 = 0\):
Дискриминант: \[D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49\] Корни: \[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1\] \[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5\]
2. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервалах \((-\infty; -2.5]\) и \([1; +\infty)\) функция принимает неотрицательные значения.
3. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\infty; -2.5] \cup [1; +\infty)\)

266. Решите неравенство:

a) \(2x^2 + 13x - 7 > 0\)

Логика такая:

1. Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 + 13x - 7 = 0\):
Дискриминант: \[D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225\] Корни: \[x_1 = \frac{-13 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\] \[x_2 = \frac{-13 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 - 15}{4} = \frac{-28}{4} = -7\]
2. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервалах \((-\infty; -7)\) и \((0.5; +\infty)\) функция принимает положительные значения.
3. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\infty; -7) \cup (0.5; +\infty)\)

б) \(-9x^2 + 12x - 4 < 0\)

Логика такая:

1. Найдем корни квадратного уравнения \(-9x^2 + 12x - 4 = 0\):
Дискриминант: \[D = 12^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-4) = 144 - 144 = 0\] Корень: \[x = \frac{-12}{2 \cdot (-9)} = \frac{-12}{-18} = \frac{2}{3}\]
2. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный, парабола направлена вниз. Следовательно, функция принимает отрицательные значения везде, кроме точки \(x = \frac{2}{3}\).
3. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)\)

в) \(6x^2 - 13x + 5 \le 0\)

Логика такая:

1. Найдем корни квадратного уравнения \(6x^2 - 13x + 5 = 0\):
Дискриминант: \[D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49\] Корни: \[x_1 = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}\] \[x_2 = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 7}{12} = \frac{6}{12} = 0.5\]
2. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервале \([0.5; \frac{5}{3}]\) функция принимает неположительные значения.
3. Запишем решение:
Решение: \(x \in [0.5; \frac{5}{3}]\)

г) \(-2x^2 - 5x + 18 < 0\)

Логика такая:

1. Найдем корни квадратного уравнения \(-2x^2 - 5x + 18 = 0\):
Дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 18 = 25 + 144 = 169\] Корни: \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2 \cdot (-2)} = \frac{5 + 13}{-4} = \frac{18}{-4} = -4.5\] \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{169}}{2 \cdot (-2)} = \frac{5 - 13}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2\]
2. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный, парабола направлена вниз. Следовательно, на интервалах \((-\infty; -4.5)\) и \((2; +\infty)\) функция принимает отрицательные значения.
3. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\infty; -4.5) \cup (2; +\infty)\)

д) \(3x^2 - 2x > 0\)

Логика такая:

1. Вынесем \(x\) за скобки: \[x(3x - 2) > 0\]
2. Найдем корни:
\[x_1 = 0\] \[3x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{2}{3}\]
3. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервалах \((-\infty; 0)\) и \((\frac{2}{3}; +\infty)\) функция принимает положительные значения.
4. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)\)

e) \(8 - x^2 < 0\)

Логика такая:

1. Перепишем неравенство: \[x^2 - 8 > 0\]
2. Найдем корни уравнения \(x^2 - 8 = 0\):
\[x_1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] \[x_2 = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}\]
3. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервалах \((-\infty; -2\sqrt{2})\) и \((2\sqrt{2}; +\infty)\) функция принимает положительные значения, значит, \(x^2 - 8 > 0\).
4. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)\)

б) \(-6x^2 + 6x + 36 \ge 0\)

Логика такая:

1. Разделим на -6 и изменим знак неравенства: \[x^2 - x - 6 \le 0\]
2. Найдем корни уравнения \(x^2 - x - 6 = 0\):
Дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\] Корни: \[x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2\]
3. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервале \([-2; 3]\) функция принимает неположительные значения.
4. Запишем решение:
Решение: \(x \in [-2; 3]\)

в) \(-x^2 + 5 < 0\)

Логика такая:

1. Перепишем неравенство: \[x^2 - 5 > 0\]
2. Найдем корни уравнения \(x^2 - 5 = 0\):
\[x_1 = \sqrt{5}\] \[x_2 = -\sqrt{5}\]
3. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервалах \((-\infty; -\sqrt{5})\) и \((\sqrt{5}; +\infty)\) функция принимает положительные значения, значит, \(x^2 - 5 > 0\).
4. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)\)

267. Найдите, при каких значениях х трёхчлен:

a) \(2x^2 + 5x + 3\) принимает положительные значения

Логика такая:

1. Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 + 5x + 3 = 0\):
Дискриминант: \[D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1\] Корни: \[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1\] \[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5\]
2. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервалах \((-\infty; -1.5)\) и \((-1; +\infty)\) функция принимает положительные значения.
3. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\infty; -1.5) \cup (-1; +\infty)\)

б) \(-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36}\) принимает отрицательные значения

Логика такая:

1. Найдем корни квадратного уравнения \(-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36} = 0\):
Дискриминант: \[D = (-\frac{1}{3})^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-\frac{1}{36}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{36} = \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0\] Корень: \[x = \frac{\frac{1}{3}}{2 \cdot (-1)} = -\frac{1}{6}\]
2. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный, парабола направлена вниз. Следовательно, функция принимает отрицательные значения везде, кроме точки \(x = -\frac{1}{6}\).
3. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (-\frac{1}{6}; +\infty)\)

268. Решите неравенство:

a) \(x^2 < 16\)

Логика такая:

1. Перепишем неравенство: \[x^2 - 16 < 0\]
2. Найдем корни уравнения \(x^2 - 16 = 0\):
\[x_1 = 4\] \[x_2 = -4\]
3. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервале \((-4; 4)\) функция принимает отрицательные значения, значит, \(x^2 - 16 < 0\).
4. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-4; 4)\)

б) \(x^2 \ge 3\)

Логика такая:

1. Перепишем неравенство: \[x^2 - 3 \ge 0\]
2. Найдем корни уравнения \(x^2 - 3 = 0\):
\[x_1 = \sqrt{3}\] \[x_2 = -\sqrt{3}\]
3. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервалах \((-\infty; -\sqrt{3}]\) и \([\[(\sqrt{3}; +\infty)\) функция принимает неотрицательные значения, значит, \(x^2 - 3 \ge 0\).
4. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\infty; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; +\infty)\)

в) \(0.2x^2 > 1.8\)

Логика такая:

1. Разделим обе части на 0.2: \[x^2 > 9\]
2. Перепишем неравенство: \[x^2 - 9 > 0\]
3. Найдем корни уравнения \(x^2 - 9 = 0\):
\[x_1 = 3\] \[x_2 = -3\]
4. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервалах \((-\infty; -3)\) и \((3; +\infty)\) функция принимает положительные значения, значит, \(x^2 - 9 > 0\).
5. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\)

г) \(-5x^2 < x\)

Логика такая:

1. Перепишем неравенство: \[5x^2 + x > 0\]
2. Вынесем \(x\) за скобки: \[x(5x + 1) > 0\]
3. Найдем корни:
\[x_1 = 0\] \[5x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{5}\]
4. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервалах \((-\infty; -\frac{1}{5})\) и \((0; +\infty)\) функция принимает положительные значения.
5. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{5}) \cup (0; +\infty)\)

д) \(3x^2 < -2x\)

Логика такая:

1. Перепишем неравенство: \[3x^2 + 2x < 0\]
2. Вынесем \(x\) за скобки: \[x(3x + 2) < 0\]
3. Найдем корни:
\[x_1 = 0\] \[3x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{2}{3}\]
4. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервале \((-\frac{2}{3}; 0)\) функция принимает отрицательные значения.
5. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\frac{2}{3}; 0)\)

e) \(7x < x^2\)

Логика такая:

1. Перепишем неравенство: \[x^2 - 7x > 0\]
2. Вынесем \(x\) за скобки: \[x(x - 7) > 0\]
3. Найдем корни:
\[x_1 = 0\] \[x - 7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7\]
4. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервалах \((-\infty; 0)\) и \((7; +\infty)\) функция принимает положительные значения.
5. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\infty; 0) \cup (7; +\infty)\)

269. Решите неравенство:

a) \(0.01x^2 < 1\)

Логика такая:

1. Умножим обе части на 100: \[x^2 < 100\]
2. Перепишем неравенство: \[x^2 - 100 < 0\]
3. Найдем корни уравнения \(x^2 - 100 = 0\):
\[x_1 = 10\] \[x_2 = -10\]
4. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервале \((-10; 10)\) функция принимает отрицательные значения, значит, \(x^2 - 100 < 0\).
5. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-10; 10)\)

в) \(4x < -x^2\)

Логика такая:

1. Перепишем неравенство: \[x^2 + 4x < 0\]
2. Вынесем \(x\) за скобки: \[x(x + 4) < 0\]
3. Найдем корни:
\[x_1 = 0\] \[x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4\]
4. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервале \((-4; 0)\) функция принимает отрицательные значения.
5. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-4; 0)\)

д) \(5x^2 > 2x\)

Логика такая:

1. Перепишем неравенство: \[5x^2 - 2x > 0\]
2. Вынесем \(x\) за скобки: \[x(5x - 2) > 0\]
3. Найдем корни:
\[x_1 = 0\] \[5x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{2}{5}\]
4. Определим знаки на интервалах:
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, на интервалах \((-\infty; 0)\) и \((\frac{2}{5}; +\infty)\) функция принимает положительные значения.
5. Запишем решение:
Решение: \(x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{5}; +\infty)\)