Найдите математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X, если известно ее распределение вероятностей: Значение X -8 0 4 9 Вероятность 0,2 0,08 0,29 0,43

Решение:

Чтобы найти математическое ожидание (M(X)), дисперсию (D(X)) и стандартное отклонение (σ(X)) случайной величины, воспользуемся данными из таблицы.

1. Математическое ожидание (M(X))

Математическое ожидание рассчитывается как сумма произведений каждого значения случайной величины на его вероятность:

• \[ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) \]
• \[ M(X) = (-8 \cdot 0,2) + (0 \cdot 0,08) + (4 \cdot 0,29) + (9 \cdot 0,43) \]
• \[ M(X) = -1,6 + 0 + 1,16 + 3,87 \]
• \[ M(X) = 3,43 \]

2. Дисперсия (D(X))

Дисперсия рассчитывается как математическое ожидание квадрата случайной величины минус квадрат математического ожидания:

• \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \]
• Сначала найдем \[ M(X^2) \]:
• \[ M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot P(x_i) \]
• \[ M(X^2) = ((-8)^2 \cdot 0,2) + (0^2 \cdot 0,08) + (4^2 \cdot 0,29) + (9^2 \cdot 0,43) \]
• \[ M(X^2) = (64 \cdot 0,2) + (0 \cdot 0,08) + (16 \cdot 0,29) + (81 \cdot 0,43) \]
• \[ M(X^2) = 12,8 + 0 + 4,64 + 34,83 \]
• \[ M(X^2) = 52,27 \]
• Теперь рассчитаем дисперсию:
• \[ D(X) = 52,27 - (3,43)^2 \]
• \[ D(X) = 52,27 - 11,7649 \]
• \[ D(X) \approx 40,5051 \]

3. Стандартное отклонение (σ(X))

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

• \[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \]
• \[ \sigma(X) = \sqrt{40,5051} \]
• \[ \sigma(X) \approx 6,3644 \]

Ответ:

• Математическое ожидание (M(X)): 3,43
• Дисперсия (D(X)): \( \approx 40,51 \)
• Стандартное отклонение (σ(X)): \( \approx 6,36 \)