Найдите квадрат многочлена: (5u⁸ - 3u⁷ - 10u⁹)². В ответе запишите многочлен в стандартном виде.

Решение:

1. Формула квадрата трехчлена:

   \[ (a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac + 2bc \]

2. Применим формулу к нашему многочлену:

   \[ (5u^8 - 3u^7 - 10u^9)^2 = (5u^8)^2 + (-3u^7)^2 + (-10u^9)^2 - 2(5u^8)(-3u^7) + 2(5u^8)(-10u^9) + 2(-3u^7)(-10u^9) \]

3. Вычислим каждое слагаемое:
   • \[ (5u^8)^2 = 25u^{16} \]
   • \[ (-3u^7)^2 = 9u^{14} \]
   • \[ (-10u^9)^2 = 100u^{18} \]
   • \[ -2(5u^8)(-3u^7) = 30u^{15} \]
   • \[ +2(5u^8)(-10u^9) = -100u^{17} \]
   • \[ +2(-3u^7)(-10u^9) = 60u^{16} \]
4. Соберем все слагаемые вместе и приведем в стандартный вид (по убыванию степени):

   \[ 100u^{18} - 100u^{17} + (25u^{16} + 60u^{16}) + 30u^{15} + 9u^{14} \]

   \[ 100u^{18} - 100u^{17} + 85u^{16} + 30u^{15} + 9u^{14} \]

Ответ: 100u¹⁸ - 100u¹⁷ + 85u¹⁶ + 30u¹⁵ + 9u¹⁴