Найдите косинусы углов между векторами AB и BC, BC и CD.

Решение:

Для нахождения косинусов углов между векторами используем формулу:

\( \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \)

1. Косинус угла между векторами AB и BC:

Найдем координаты векторов AB и BC:

\( \vec{AB} = B - A = (-1-6, -2-3, 1-3) = (-7, -5, -2) \)

\( \vec{BC} = C - B = (3 - (-1), 1 - (-2), 1 - 1) = (4, 3, 0) \)

Найдем скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} \):

\( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-7) \cdot 4 + (-5) \cdot 3 + (-2) \cdot 0 = -28 - 15 + 0 = -43 \)

Найдем длины векторов \( |\vec{AB}| \) и \( |\vec{BC}| \):

\( |\vec{AB}| = \sqrt{(-7)^2 + (-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 25 + 4} = \sqrt{78} \)

\( |\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5 \)

Вычислим косинус угла между \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \):

\( \cos(\angle ABC) = \frac{-43}{\sqrt{78} \cdot 5} = \frac{-43}{5\sqrt{78}} \)

2. Косинус угла между векторами BC и CD:

Найдем координаты вектора CD:

\( \vec{CD} = D - C = (0-3, 4-1, 5-1) = (-3, 3, 4) \)

Скалярное произведение \( \vec{BC} \cdot \vec{CD} \):

\( \vec{BC} \cdot \vec{CD} = 4 \cdot (-3) + 3 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = -12 + 9 + 0 = -3 \)

Найдем длину вектора \( |\vec{CD}| \):

\( |\vec{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 9 + 16} = \sqrt{34} \)

Вычислим косинус угла между \( \vec{BC} \) и \( \vec{CD} \):

\( \cos(\angle BCD) = \frac{-3}{5 \cdot \sqrt{34}} = \frac{-3}{5\sqrt{34}} \)

Ответ: Косинус угла между векторами AB и BC равен \( \frac{-43}{5\sqrt{78}} \). Косинус угла между векторами BC и CD равен \( \frac{-3}{5\sqrt{34}} \).