Найдите косинус угла между векторами АВ и СВ.

Решение задания №7

Давай решим эту задачу по шагам. Нам нужно найти косинус угла между векторами \[\vec{AB}\] и \[\vec{CD}\].

1. Определим координаты точек:

• A(-1; -2)
• B(3; 2)
• C(-1; 0)
• D(-3; 1)

2. Найдем координаты векторов \[\vec{AB}\] и \[\vec{CD}\].

Координаты вектора находятся как разность координат конца и начала вектора:

• \[\vec{AB} = (3 - (-1); 2 - (-2)) = (4; 4)\]
• \[\vec{CD} = (-3 - (-1); 1 - 0) = (-2; 1)\]

3. Вспомним формулу для косинуса угла между векторами:

Косинус угла \[\theta\] между векторами \[\vec{a} = (x_1; y_1)\] и \[\vec{b} = (x_2; y_2)\] вычисляется по формуле:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}\]

4. Применим формулу к нашим векторам:

Для векторов \[\vec{AB} = (4; 4)\] и \[\vec{CD} = (-2; 1)\]:

\[\cos(\theta) = \frac{4 \cdot (-2) + 4 \cdot 1}{\sqrt{4^2 + 4^2} \cdot \sqrt{(-2)^2 + 1^2}} = \frac{-8 + 4}{\sqrt{16 + 16} \cdot \sqrt{4 + 1}} = \frac{-4}{\sqrt{32} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-4}{\sqrt{16 \cdot 2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-4}{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{10}}\]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \[\sqrt{10}\]:

\[\cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{-\sqrt{10}}{10}\]

Ответ:

Ответ: \(\frac{-\sqrt{10}}{10}\)

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Немного внимательности, и у тебя всё получится!