5. Найдите косинус угла между векторами a=4m-p и b=m+2p , если |m|=|p|=1

Краткое пояснение:

Решение:

Для начала вспомним формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами: \[\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\] В нашем случае \(\vec{a} = 4\vec{m} - \vec{p}\) и \(\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{p}\). Также известно, что \(|\vec{m}| = |\vec{p}| = 1\). Найдем скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\): \[\vec{a} \cdot \vec{b} = (4\vec{m} - \vec{p}) \cdot (\vec{m} + 2\vec{p}) = 4(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 8(\vec{m} \cdot \vec{p}) - (\vec{p} \cdot \vec{m}) - 2(\vec{p} \cdot \vec{p})\] Поскольку \(\vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2 = 1\) и \(\vec{p} \cdot \vec{p} = |\vec{p}|^2 = 1\), а также \(\vec{m} \cdot \vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{m}\), то: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 1 + 8(\vec{m} \cdot \vec{p}) - (\vec{m} \cdot \vec{p}) - 2 \cdot 1 = 4 + 7(\vec{m} \cdot \vec{p}) - 2 = 2 + 7(\vec{m} \cdot \vec{p})\] Теперь найдем \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\): \[|\vec{a}| = |4\vec{m} - \vec{p}| = \sqrt{(4\vec{m} - \vec{p})^2} = \sqrt{16(\vec{m} \cdot \vec{m}) - 8(\vec{m} \cdot \vec{p}) + (\vec{p} \cdot \vec{p})} = \sqrt{16 - 8(\vec{m} \cdot \vec{p}) + 1} = \sqrt{17 - 8(\vec{m} \cdot \vec{p})}\] \[|\vec{b}| = |\vec{m} + 2\vec{p}| = \sqrt{(\vec{m} + 2\vec{p})^2} = \sqrt{(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 4(\vec{m} \cdot \vec{p}) + 4(\vec{p} \cdot \vec{p})} = \sqrt{1 + 4(\vec{m} \cdot \vec{p}) + 4} = \sqrt{5 + 4(\vec{m} \cdot \vec{p})}\] Если векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{p}\) образуют угол \(\gamma\), то \(\vec{m} \cdot \vec{p} = |\vec{m}| |\vec{p}| \cos(\gamma) = \cos(\gamma)\). Подставим это в выражения для \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\): \[|\vec{a}| = \sqrt{17 - 8\cos(\gamma)}\] \[|\vec{b}| = \sqrt{5 + 4\cos(\gamma)}\] Тогда косинус угла между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) будет: \[\cos(\alpha) = \frac{2 + 7\cos(\gamma)}{\sqrt{17 - 8\cos(\gamma)} \sqrt{5 + 4\cos(\gamma)}}\] Предположим, что векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{p}\) ортогональны, то есть \(\cos(\gamma) = 0\). Тогда: \[\cos(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{17} \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{85}} = \frac{2\sqrt{85}}{85}\] Если же векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{p}\) сонаправлены, то есть \(\cos(\gamma) = 1\). Тогда: \[\cos(\alpha) = \frac{2 + 7}{\sqrt{17 - 8} \sqrt{5 + 4}} = \frac{9}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = \frac{9}{3 \cdot 3} = 1\] Если векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{p}\) противоположно направлены, то есть \(\cos(\gamma) = -1\). Тогда: \[\cos(\alpha) = \frac{2 - 7}{\sqrt{17 + 8} \sqrt{5 - 4}} = \frac{-5}{\sqrt{25} \sqrt{1}} = \frac{-5}{5} = -1\] Таким образом, косинус угла между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) зависит от угла между векторами \(\vec{m}\) и \(\vec{p}\).