Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Найдите косинус угла между прямыми В.М и С.А.
Ответ:
1. Введем систему координат: A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,√3,0), D=(0,√3,0), A1=(0,0,4), B1=(1,0,4), C1=(1,√3,4), D1=(0,√3,4). Точка M - середина ребра A1A, следовательно M=(0,0,2).
2. Найдем векторы прямых: $$\vec{BM} = (0-1, 0-0, 2-0) = (-1, 0, 2)$$. $$\vec{CA} = (0-1, 0-√3, 0-0) = (-1, -√3, 0)$$.
3. Вычислим косинус угла между векторами: $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{BM} \cdot \vec{CA}}{|\vec{BM}| |\vec{CA}|} = \frac{(-1)(-1) + (0)(-√3) + (2)(0)}{\sqrt{(-1)^2+0^2+2^2} \sqrt{(-1)^2+(-√3)^2+0^2}} = \frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{1+3}} = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot 2} = \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10}$$.
2. Найдем векторы прямых: $$\vec{BM} = (0-1, 0-0, 2-0) = (-1, 0, 2)$$. $$\vec{CA} = (0-1, 0-√3, 0-0) = (-1, -√3, 0)$$.
3. Вычислим косинус угла между векторами: $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{BM} \cdot \vec{CA}}{|\vec{BM}| |\vec{CA}|} = \frac{(-1)(-1) + (0)(-√3) + (2)(0)}{\sqrt{(-1)^2+0^2+2^2} \sqrt{(-1)^2+(-√3)^2+0^2}} = \frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{1+3}} = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot 2} = \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10}$$.
