5. Найдите корни уравнения e) 4x+1 = 5x-4 - - x+1 2x-2

Давай решим уравнение. \[\frac{4x+1}{x+1} = \frac{5x-4}{2x-2}\] Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю. 1. x + 1 ≠ 0, следовательно, x ≠ -1. 2. 2x - 2 ≠ 0, следовательно, x ≠ 1. Теперь решим уравнение: \[\frac{4x+1}{x+1} = \frac{5x-4}{2x-2}\] \[\frac{4x+1}{x+1} = \frac{5x-4}{2(x-1)}\] Перемножим крест-накрест: \[(4x+1) \cdot 2(x-1) = (5x-4)(x+1)\] \[2(4x^2 - 4x + x - 1) = 5x^2 + 5x - 4x - 4\] \[2(4x^2 - 3x - 1) = 5x^2 + x - 4\] \[8x^2 - 6x - 2 = 5x^2 + x - 4\] Перенесем все в левую часть: \[8x^2 - 5x^2 - 6x - x - 2 + 4 = 0\] \[3x^2 - 7x + 2 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25\] \[x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2\] \[x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 1/3