633. Найдите корни уравнения: a) x²/x²+1 = 7x/x²+1 ; б) y²/y²-6y = 4(3-2y)/y(6-y); B) x-2/x+2 = x+3/x-4; г) 8y-5/y = 9y/y+2; д) x²+3/x²+1 = 2; e) 3/x²+2 = 1/x; ж) х + 2 = 15/4x+1; 3) x²-5/x-1 = 7x+10/9.

Решение задания 633

а) \(\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{7x}{x^2+1}\)

Давай решим это уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). В данном случае, знаменатель \(x^2+1\) всегда больше нуля, так что ОДЗ: \(x \in \mathbb{R}\).

Теперь приравняем числители, так как знаменатели равны:

\[x^2 = 7x\] \[x^2 - 7x = 0\] \[x(x - 7) = 0\]

Значит, либо \(x = 0\), либо \(x - 7 = 0\), откуда \(x = 7\).

Ответ: x = 0, x = 7

б) \(\frac{y^2}{y^2-6y} = \frac{4(3-2y)}{y(6-y)}\)

Сначала упростим знаменатели. Заметим, что \(y^2 - 6y = y(y - 6)\) и \(y(6 - y) = -y(y - 6)\). Тогда уравнение можно переписать как:

\[\frac{y^2}{y(y-6)} = \frac{4(3-2y)}{-y(y-6)}\]

ОДЗ: \(y
eq 0\) и \(y
eq 6\).

Теперь, умножим обе части на \(y(y - 6)\):

\[y^2 = -4(3 - 2y)\] \[y^2 = -12 + 8y\] \[y^2 - 8y + 12 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \(D = (-8)^2 - 4(1)(12) = 64 - 48 = 16\). Корни:

\[y_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{8 \pm 4}{2}\] \[y_1 = \frac{8 + 4}{2} = 6, \quad y_2 = \frac{8 - 4}{2} = 2\]

Так как \(y
eq 6\) по ОДЗ, то \(y = 6\) не является решением. Значит, только \(y = 2\).

Ответ: y = 2

в) \(\frac{x-2}{x+2} = \frac{x+3}{x-4}\)

ОДЗ: \(x
eq -2\) и \(x
eq 4\).

Перемножим крест-накрест:

\[(x - 2)(x - 4) = (x + 3)(x + 2)\] \[x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 + 2x + 3x + 6\] \[x^2 - 6x + 8 = x^2 + 5x + 6\] \[-6x + 8 = 5x + 6\] \[11x = 2\] \[x = \frac{2}{11}\]

Ответ: x = 2/11

г) \(\frac{8y-5}{y} = \frac{9y}{y+2}\)

ОДЗ: \(y
eq 0\) и \(y
eq -2\).

Перемножим крест-накрест:

\[(8y - 5)(y + 2) = 9y^2\] \[8y^2 + 16y - 5y - 10 = 9y^2\] \[8y^2 + 11y - 10 = 9y^2\] \[y^2 - 11y + 10 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \(D = (-11)^2 - 4(1)(10) = 121 - 40 = 81\). Корни:

\[y_{1,2} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{11 \pm 9}{2}\] \[y_1 = \frac{11 + 9}{2} = 10, \quad y_2 = \frac{11 - 9}{2} = 1\]

Ответ: y = 1, y = 10

д) \(\frac{x^2+3}{x^2+1} = 2\)

ОДЗ: \(x \in \mathbb{R}\) (так как \(x^2 + 1 > 0\) всегда).

Умножим обе части на \(x^2 + 1\):

\[x^2 + 3 = 2(x^2 + 1)\] \[x^2 + 3 = 2x^2 + 2\] \[x^2 = 1\] \[x = \pm 1\]

Ответ: x = -1, x = 1

e) \(\frac{3}{x^2+2} = \frac{1}{x}\)

ОДЗ: \(x
eq 0\).

Перемножим крест-накрест:

\[3x = x^2 + 2\] \[x^2 - 3x + 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\). Корни:

\[x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 \pm 1}{2}\] \[x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1\]

Ответ: x = 1, x = 2

ж) \(x + 2 = \frac{15}{4x+1}\)

ОДЗ: \(x
eq -\frac{1}{4}\).

Умножим обе части на \(4x + 1\):

\[(x + 2)(4x + 1) = 15\] \[4x^2 + x + 8x + 2 = 15\] \[4x^2 + 9x - 13 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \(D = 9^2 - 4(4)(-13) = 81 + 208 = 289\). Корни:

\[x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{289}}{2(4)} = \frac{-9 \pm 17}{8}\] \[x_1 = \frac{-9 + 17}{8} = 1, \quad x_2 = \frac{-9 - 17}{8} = -\frac{26}{8} = -\frac{13}{4}\]

Ответ: x = 1, x = -13/4

з) \(\frac{x^2-5}{x-1} = \frac{7x+10}{9}\)

ОДЗ: \(x
eq 1\).

Перемножим крест-накрест:

\[9(x^2 - 5) = (7x + 10)(x - 1)\] \[9x^2 - 45 = 7x^2 - 7x + 10x - 10\] \[9x^2 - 45 = 7x^2 + 3x - 10\] \[2x^2 - 3x - 35 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4(2)(-35) = 9 + 280 = 289\). Корни:

\[x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{289}}{2(2)} = \frac{3 \pm 17}{4}\] \[x_1 = \frac{3 + 17}{4} = 5, \quad x_2 = \frac{3 - 17}{4} = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2}\]

Ответ: x = 5, x = -7/2

Ты отлично справился с решением этих уравнений! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!