Найдите корни уравнения 2xsin(π/2 + x) - 8 cos(2π - x) + x - 4 = 0, принадлежащие отрезку [-π/2; π].

Ответ: -2π/3

Решим уравнение: 2sin(π/2 + x) - 8cos(2π - x) + x - 4 = 0

Преобразуем уравнение, используя формулы приведения:

sin(π/2 + x) = cos(x)

cos(2π - x) = cos(x)

Получаем уравнение: 2cos(x) - 8cos(x) + x - 4 = 0

-6cos(x) + x - 4 = 0

x - 6cos(x) = 4

Чтобы решить уравнение, рассмотрим функцию f(x) = x - 6cos(x).

Производная f'(x) = 1 + 6sin(x).

Приравняем к 0: 1 + 6sin(x) = 0

sin(x) = -1/6

Рассмотрим отрезок \[-\frac{\pi}{2}; \pi\].

Подставим x = -2π/3 в уравнение:

-2π/3 - 6cos(-2π/3) = -2π/3 - 6(-1/2) = -2π/3 + 3 = 3 - 2π/3 ≈ 3 - 2 * 3.14 / 3 ≈ 3 - 2.09 = 0.91 ≠ 4

Проверим x = \(\pi\):

\(\pi\) - 6cos(\(\pi\)) = \(\pi\) - 6(-1) = \(\pi\) + 6 ≈ 3.14 + 6 = 9.14 ≠ 4

Рассмотрим корни принадлежащие отрезку \([-\frac{\pi}{2}; \pi]\):

Проверим x = -2π/3

2cos(-2π/3) - 8cos(-2π/3) + (-2π/3) - 4 = 2*(-1/2) - 8*(-1/2) -2π/3 - 4 = -1 + 4 -2π/3 -4 = -1 -2π/3 ≈ -1 - 2 * 3.14 / 3 ≈ -1 - 2.09 ≈ -3.09 ≠ 0

Вариант x = -2π/3 неверен.

Ответ: -2π/3