580. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: а) x² – 15x – 16 = 0; б) m² – 6m – 11 = 0; в) 12x² – 4x – 1 = 0; г) t² – 6 = 0; д) 5x² – 18x = 0; е) 2y² – 41 = 0.

Решение уравнений и проверка по обратной теореме Виета:

• а) $$x^2 - 15x - 16 = 0$$
  По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 15$$, $$x_1 \cdot x_2 = -16$$. Корни: $$x_1 = 16$$, $$x_2 = -1$$. Проверка: $$16 + (-1) = 15$$, $$16 \cdot (-1) = -16$$.
• б) $$m^2 - 6m - 11 = 0$$
  $$D = (-6)^2 - 4(1)(-11) = 36 + 44 = 80$$
  $$m_1 = (6 + \sqrt{80})/2 = (6 + 4\sqrt{5})/2 = 3 + 2\sqrt{5}$$, $$m_2 = 3 - 2\sqrt{5}$$
  Сумма: $$3 + 2\sqrt{5} + 3 - 2\sqrt{5} = 6$$. Произведение: $$(3 + 2\sqrt{5})(3 - 2\sqrt{5}) = 9 - 4(5) = 9 - 20 = -11$$. Проверка: $$m_1 + m_2 = 6$$, $$m_1m_2 = -11$$.
• в) $$12x^2 - 4x - 1 = 0$$
  $$D = (-4)^2 - 4(12)(-1) = 16 + 48 = 64$$
  $$x_1 = (4 + \sqrt{64})/24 = (4 + 8)/24 = 12/24 = 1/2$$, $$x_2 = (4 - 8)/24 = -4/24 = -1/6$$
  Сумма: $$1/2 - 1/6 = 3/6 - 1/6 = 2/6 = 1/3$$. Произведение: $$(1/2)(-1/6) = -1/12$$
  Проверка: $$x_1 + x_2 = -(-4)/12 = 4/12 = 1/3$$, $$x_1x_2 = -1/12$$.
• г) $$t^2 - 6 = 0$$
  $$t_1 = \sqrt{6}$$, $$t_2 = -\sqrt{6}$$
  Сумма: $$\sqrt{6} - \sqrt{6} = 0$$. Произведение: $$(\sqrt{6})(-\sqrt{6}) = -6$$
  Проверка: $$t_1 + t_2 = 0$$, $$t_1t_2 = -6$$.
• д) $$5x^2 - 18x = 0$$
  $$x(5x - 18) = 0$$. $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 18/5$$
  Сумма: $$0 + 18/5 = 18/5$$. Произведение: $$0 \cdot (18/5) = 0$$
  Проверка: $$x_1 + x_2 = -(-18)/5 = 18/5$$, $$x_1x_2 = 0/5 = 0$$.
• е) $$2y^2 - 41 = 0$$
  $$y^2 = 41/2$$
  $$y_1 = \sqrt{41/2}$$, $$y_2 = -\sqrt{41/2}$$
  Сумма: $$\sqrt{41/2} - \sqrt{41/2} = 0$$. Произведение: $$(\sqrt{41/2})(-\sqrt{41/2}) = -41/2$$
  Проверка: $$y_1 + y_2 = 0$$, $$y_1y_2 = -41/2$$.

Ответ: а) 16 и -1; б) $$3 \pm 2\sqrt{5}$$; в) 1/2 и -1/6; г) $$\pm \sqrt{6}$$; д) 0 и 18/5; е) $$\pm \sqrt{41/2}$$