Найдите корни уравнений a) \(\frac{x^2 - 3}{x^2 - 1} + \frac{x}{x - 1} = 1;\) б) \(\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x} = \frac{4}{x^2 - 2x}.\)

Решение:

а) \(\frac{x^2 - 3}{x^2 - 1} + \frac{x}{x - 1} = 1\)

1. Приведём знаменатели к общему виду: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \).
2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( (x - 1)(x + 1) \), учитывая, что \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \):
\( x^2 - 3 + x(x + 1) = (x - 1)(x + 1) \)
3. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
\( x^2 - 3 + x^2 + x = x^2 - 1 \) \( 2x^2 + x - 3 = x^2 - 1 \) \( x^2 + x - 2 = 0 \)
4. Решим полученное квадратное уравнение. Используем дискриминант:
\( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \)
5. Найдём корни:
\( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \) \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \)
6. Проверим корни на соответствие условиям \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \). Корень \( x_1 = 1 \) не подходит, так как знаменатель обращается в ноль.

б) \(\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x} = \frac{4}{x^2 - 2x}.\)

1. Приведём знаменатели к общему виду: \( x^2 - 2x = x(x - 2) \).
2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( x(x - 2) \), учитывая, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \):
\( x \cdot x - 1(x - 2) = 4 \)
3. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
\( x^2 - x + 2 = 4 \) \( x^2 - x - 2 = 0 \)
4. Решим полученное квадратное уравнение. Используем дискриминант:
\( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \)
5. Найдём корни:
\( x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)
6. Проверим корни на соответствие условиям \( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \). Корень \( x_1 = 2 \) не подходит, так как знаменатель обращается в ноль.

Ответ: а) x = -2; б) x = -1.