Найдите корни квадратного трёхчлена: a) 10x² + 5x - 5; б) -2x² + 12x - 18; в) x² - 2x - 4; г) 12x² - 12.

Решение:

Для нахождения корней квадратного трёхчлена приравняем его к нулю и решим полученное квадратное уравнение.

1. а) 10x² + 5x - 5 = 0
   Разделим уравнение на 5: \( 2x^2 + x - 1 = 0 \)
   Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 · 2 · (-1) = 1 + 8 = 9 \)
   Корни: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 · 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \) и \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 · 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \).
2. б) -2x² + 12x - 18 = 0
   Разделим уравнение на -2: \( x^2 - 6x + 9 = 0 \)
   Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0 \)
   Корень: \( x = \frac{-(-6)}{2 · 1} = \frac{6}{2} = 3 \).
3. в) x² - 2x - 4 = 0
   Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 · 1 · (-4) = 4 + 16 = 20 \)
   Корни: \( x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{20}}{2 · 1} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{2} = 1 + \sqrt{5} \) и \( x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{20}}{2 · 1} = \frac{2 - 2\sqrt{5}}{2} = 1 - \sqrt{5} \).
4. г) 12x² - 12 = 0
   Разделим уравнение на 12: \( x^2 - 1 = 0 \)
   \( x^2 = 1 \)
   Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -1 \).

Ответ: а) 0.5; -1; б) 3; в) 1 + \(\sqrt{5}\); 1 - \(\sqrt{5}\); г) 1; -1.