1. Найдите корень уравнения: a) log4(2x + 4) = 3; 6) log-(3 - x) = -1; 7 B) log25(x + 2) = -log254; 2 1+2x г) log4 = -log42. 2. Найдите корень уравнения log2(2x - 1) = 1 + log2(x + 2). Решите уравнения и выполните указание. 3. log3(x² + 2x - 1) = log3(3x + 1). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. 4. log4x-44 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. 5. logx+416 = 2log(x+4)2x². Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите их сумму.

1. Найдите корень уравнения:

а) \(\log_4(2x + 4) = 3\)

Краткое пояснение: Чтобы решить логарифмическое уравнение, нужно привести обе части к одному основанию и решить получившееся алгебраическое уравнение.

1. Представим 3 как логарифм по основанию 4: \(\log_4(2x + 4) = \log_4(4^3)\)
2. Уберем логарифмы, так как основания одинаковые: \(2x + 4 = 4^3\)
3. Упростим: \(2x + 4 = 64\)
4. Выразим x: \(2x = 60\)
5. Найдем x: \(x = 30\)

б) \(\log_{\frac{1}{7}}(3 - x) = -1\)

Краткое пояснение: Чтобы решить логарифмическое уравнение, нужно привести обе части к одному основанию и решить получившееся алгебраическое уравнение.

1. Представим -1 как логарифм по основанию \(\frac{1}{7}\): \(\log_{\frac{1}{7}}(3 - x) = \log_{\frac{1}{7}}((\frac{1}{7})^{-1})\)
2. Уберем логарифмы: \(3 - x = (\frac{1}{7})^{-1}\)
3. Упростим: \(3 - x = 7\)
4. Выразим x: \(-x = 4\)
5. Найдем x: \(x = -4\)

в) \(\log_{25}(x + 2) = -\log_{25}4\)

Краткое пояснение: Чтобы решить логарифмическое уравнение, нужно привести обе части к одному основанию и решить получившееся алгебраическое уравнение.

1. Избавимся от минуса: \(\log_{25}(x + 2) = \log_{25}(4^{-1})\)
2. Уберем логарифмы: \(x + 2 = 4^{-1}\)
3. Упростим: \(x + 2 = \frac{1}{4}\)
4. Выразим x: \(x = \frac{1}{4} - 2\)
5. Найдем x: \(x = -\frac{7}{4}\)

г) \(\log_4{\frac{2}{1+2x}} = -\log_4{2}\)

Краткое пояснение: Чтобы решить логарифмическое уравнение, нужно привести обе части к одному основанию и решить получившееся алгебраическое уравнение.

1. Избавимся от минуса: \(\log_4{\frac{2}{1+2x}} = \log_4{2^{-1}}\)
2. Уберем логарифмы: \(\frac{2}{1+2x} = 2^{-1}\)
3. Упростим: \(\frac{2}{1+2x} = \frac{1}{2}\)
4. Умножим крест на крест: \(4 = 1 + 2x\)
5. Выразим x: \(2x = 3\)
6. Найдем x: \(x = \frac{3}{2}\)

2. Найдите корень уравнения \(\log_2(2x - 1) = 1 + \log_2(-x + 2)\).

Краткое пояснение: Чтобы решить логарифмическое уравнение, нужно привести обе части к одному основанию и решить получившееся алгебраическое уравнение.

1. Преобразуем правую часть уравнения: \(\log_2(2x - 1) = \log_2(2) + \log_2(-x + 2)\)
2. Сложим логарифмы в правой части: \(\log_2(2x - 1) = \log_2(2 \cdot (-x + 2))\)
3. Уберем логарифмы: \(2x - 1 = 2 \cdot (-x + 2)\)
4. Раскроем скобки: \(2x - 1 = -2x + 4\)
5. Перенесем все в одну сторону: \(4x = 5\)
6. Найдем x: \(x = \frac{5}{4}\)

3. Решите уравнение \(\log_3(x^2 + 2x - 1) = \log_3(3x + 1)\).

Краткое пояснение: Чтобы решить логарифмическое уравнение, нужно привести обе части к одному основанию и решить получившееся алгебраическое уравнение.

1. Уберем логарифмы: \(x^2 + 2x - 1 = 3x + 1\)
2. Перенесем все в одну сторону: \(x^2 - x - 2 = 0\)
3. Решим квадратное уравнение:
4. Найдем дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\)
5. Найдем корни: \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1\)

Так как уравнение имеет два корня, в ответе укажем меньший из них.

4. Решите уравнение \(\log_{4x-4}4 = 2\).

Краткое пояснение: Чтобы решить логарифмическое уравнение, нужно привести обе части к одному основанию и решить получившееся алгебраическое уравнение.

1. Представим 2 как логарифм по основанию \(4x-4\): \(\log_{4x-4}4 = \log_{4x-4}((4x-4)^2)\)
2. Уберем логарифмы: \(4 = (4x-4)^2\)
3. Извлечем квадратный корень: \(\pm 2 = 4x - 4\)
4. Выразим x:
5. \(4x - 4 = 2\) => \(4x = 6\) => \(x = \frac{3}{2}\)
6. \(4x - 4 = -2\) => \(4x = 2\) => \(x = \frac{1}{2}\)

Так как уравнение имеет два корня, в ответе укажем меньший из них.

5. Решите уравнение \(\log_{x+4}16 = 2\log_{(x+4)}2x^2\).

Краткое пояснение: Чтобы решить логарифмическое уравнение, нужно привести обе части к одному основанию и решить получившееся алгебраическое уравнение.

1. Воспользуемся свойством логарифмов: \(\log_{x+4}16 = \log_{(x+4)}(2x^2)^2\)
2. Уберем логарифмы: \(16 = (2x^2)^2\)
3. Упростим: \(16 = 4x^4\)
4. Разделим обе части на 4: \(4 = x^4\)
5. Извлечем корень четвертой степени: \(\pm \sqrt{2} = x\)

Так как уравнение имеет два корня, в ответе укажем их сумму.