Найдите корень уравнения: log1/2(5x - 1) = -2

Решение:

Чтобы найти корень уравнения, воспользуемся определением логарифма. Если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).

1. В нашем уравнении основание логарифма \( a = \frac{1}{2} \), результат равен \( c = -2 \), а выражение под логарифмом равно \( b = 5x - 1 \).
2. Применим определение логарифма: \( \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 5x - 1 \).
3. Возведём \( \frac{1}{2} \) в степень -2. Отрицательная степень означает, что мы берём обратную дробь в положительной степени: \( \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 2^2 = 4 \).
4. Теперь наше уравнение выглядит так: \( 4 = 5x - 1 \).
5. Решим полученное линейное уравнение. Прибавим 1 к обеим частям: \( 4 + 1 = 5x \) \( 5 = 5x \).
6. Разделим обе части на 5: \( x = \frac{5}{5} \) \( x = 1 \).
7. Проверим, что под логарифмом выражение положительное: \( 5x - 1 = 5(1) - 1 = 5 - 1 = 4 \). Так как \( 4 > 0 \), корень является допустимым.

Ответ: x = 1.