Найдите корень уравнения \(\log_3 x+\log_3(x-2)=2\). Варианты: \(1+\sqrt{10}\), \(1-\sqrt{10}\), \(\sqrt{10}\), \(5\).

ОДЗ: \(x>0\) и \(x-2>0\), поэтому \(x>2\).

Объединим логарифмы:

\[\log_3\bigl(x(x-2)\bigr)=2.\]

Тогда:

\[x(x-2)=3^2=9,\]

\[x^2-2x-9=0.\]

Корни квадратного уравнения:

\[x=\frac{2\pm\sqrt{4+36}}{2}=1\pm\sqrt{10}.\]

С учётом условия \(x>2\) подходит только \(x=1+\sqrt{10}\).

Ответ: \(1+\sqrt{10}\).