Найдите корень уравнения: (1/4)^(4x+1) * (1/4)^(5-2x) = 1/16

Решение:

Для решения уравнения воспользуемся свойством степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

1. Сложим показатели степеней у основания \( \frac{1}{4} \):
   \( \frac{1}{4} \)^{4x+1} \(\cdot\) \(\frac{1}{4}\) \)^{5-2x} = \( \frac{1}{4} \)^{4x+1 + 5-2x} = \( \frac{1}{4} \)^{2x+6}
2. Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием \( \frac{1}{4} \):
   \( \frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = \( \frac{1}{4} \)^2 \)
3. Приравняем показатели степеней, так как основания равны:
   \( 2x+6 = 2 \)
4. Решим полученное линейное уравнение:
   \( 2x = 2 - 6 \)
   \( 2x = -4 \)
   \( x = \frac{-4}{2} \)
   \( x = -2 \)

Ответ: x = -2.