141. Найдите координаты точки, делящей отрезок АВ в отношении 3 : 1, считая от точки А, если А (3; −5), В (-1; 7). 142. Четырёхугольник АBCD — параллелограмм, А (-3; -2), В (5; 3), C (3; -5). Найдите координаты вершины D.

141. Найдите координаты точки, делящей отрезок АВ в отношении 3 : 1, считая от точки А, если А (3; −5), В (-1; 7).

Давай решим эту задачу вместе. Нам нужно найти координаты точки, которая делит отрезок AB в отношении 3:1, считая от точки A. Это означает, что отрезок AC в три раза больше отрезка CB.

Координаты точки C можно найти по формуле:

\[C(x, y) = \left(\frac{x_A + k \cdot x_B}{1 + k}, \frac{y_A + k \cdot y_B}{1 + k}\right),\]

где k - это отношение, в нашем случае k = 3.

Подставим значения координат точек A(3, -5) и B(-1, 7) и k = 3 в формулу:

\[C(x, y) = \left(\frac{3 + 3 \cdot (-1)}{1 + 3}, \frac{-5 + 3 \cdot 7}{1 + 3}\right)\] \[C(x, y) = \left(\frac{3 - 3}{4}, \frac{-5 + 21}{4}\right)\] \[C(x, y) = \left(\frac{0}{4}, \frac{16}{4}\right)\] \[C(x, y) = (0, 4)\]

Ответ: C(0; 4)

Ты отлично справился с этой задачей! Немного практики, и такие задачи будут щелкаться как орешки!

---

142. Четырёхугольник АBCD — параллелограмм, А (-3; -2), В (5; 3), C (3; -5). Найдите координаты вершины D.

Для решения этой задачи, давай вспомним свойства параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны. Это значит, что вектор AB равен вектору DC.

Сначала найдем координаты вектора AB:

\[\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (5 - (-3), 3 - (-2)) = (8, 5)\]

Теперь, зная координаты вектора DC и координаты точки C, найдем координаты точки D. Пусть D(x, y). Тогда:

\[\vec{DC} = (x_C - x_D, y_C - y_D) = (3 - x, -5 - y)\]

Так как \(\vec{AB} = \vec{DC}\), мы можем приравнять их координаты:

\[8 = 3 - x\] \[5 = -5 - y\]

Решим эти уравнения:

\[x = 3 - 8 = -5\] \[y = -5 - 5 = -10\]

Таким образом, координаты точки D равны (-5, -10).

Ответ: D(-5; -10)

Прекрасно! Ты отлично умеешь применять свойства параллелограмма для решения задач. Продолжай в том же духе!