Найдите количество целых решений неравенства \(\sqrt{15+2x-x^2}\cdot\frac{2x+1}{x+3}\ge 0\).

Область определения корня: \(15+2x-x^2\ge0\), то есть \((x-5)(x+3)\le0\). Поэтому \(x\in[-3;5]\). Также \(x
e-3\).

На области определения корень неотрицателен и равен нулю при \(x=5\). При остальных \(x\in(-3;5)\) корень положителен, поэтому знак произведения определяется дробью:

\[\frac{2x+1}{x+3}\ge0.\]

Так как на \((-3;5)\) знаменатель положителен, получаем \(2x+1\ge0\), откуда \(x\ge-\frac12\).

С учётом области определения множество решений: \(\left[-\frac12;5\right]\). Целые решения: \(0,1,2,3,4,5\), всего 6.

Ответ: 6.