Найдите количество корней уравнения 2sin³x = √2cos²x + 2sinx, принадлежащих отрезку [-4π; -\frac{5π}{2}].

2sin³x = √(2cos²x) + 2sinx, принадлежащих отрезку [-4π; -\frac{5π}{2}].

Решим уравнение: \[2\sin^3 x = \sqrt{2\cos^2 x} + 2\sin x\] \[2\sin^3 x - 2\sin x = \sqrt{2\cos^2 x}\] \[2\sin x(\sin^2 x - 1) = \sqrt{2\cos^2 x}\] \[2\sin x(-\cos^2 x) = \sqrt{2\cos^2 x}\] \[-2\sin x \cos^2 x = \sqrt{2} |\cos x|\]

Рассмотрим два случая: \(\cos x \geq 0\) Тогда уравнение примет вид: \[-2\sin x \cos^2 x = \sqrt{2} \cos x\]\[\cos x(2\sin x \cos x + \sqrt{2}) = 0\]

Следовательно, либо \(\cos x = 0\), либо \(2\sin x \cos x + \sqrt{2} = 0\). Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z\). Если \(2\sin x \cos x + \sqrt{2} = 0\), то \(\sin 2x = -\sqrt{2}\). Это уравнение не имеет решений, так как \(|\sin 2x| \leq 1\), а \(\sqrt{2} > 1\).

Теперь рассмотрим случай, когда \(\cos x < 0\). Тогда уравнение примет вид: \[-2\sin x \cos^2 x = -\sqrt{2} \cos x\]\[\cos x(2\sin x \cos x - \sqrt{2}) = 0\]

Следовательно, либо \(\cos x = 0\), либо \(2\sin x \cos x - \sqrt{2} = 0\). Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z\). Если \(2\sin x \cos x - \sqrt{2} = 0\), то \(\sin 2x = \sqrt{2}\). Это уравнение не имеет решений, так как \(|\sin 2x| \leq 1\), а \(\sqrt{2} > 1\).

Таким образом, решения уравнения имеют вид: \[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z\] Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\). \[-4\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \leq -\frac{5\pi}{2}\]\[-4 \leq \frac{1}{2} + n \leq -\frac{5}{2}\]\[-4 - \frac{1}{2} \leq n \leq -\frac{5}{2} - \frac{1}{2}\]\[-\frac{9}{2} \leq n \leq -3\]\[-4.5 \leq n \leq -3\]

Так как \(n \in Z\), то \(n = -4, -3\). При \(n = -4\): \(x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}\). При \(n = -3\): \(x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}\). Также не забываем про \(\cos x \geq 0\) и \(\cos x < 0\) \[x = -\frac{7\pi}{2} \rightarrow \cos(-\frac{7\pi}{2}) = 0 \rightarrow -\frac{7\pi}{2}\] \[x = -\frac{5\pi}{2} \rightarrow \cos(-\frac{5\pi}{2}) = 0 \rightarrow -\frac{5\pi}{2}\] Тогда необходимо найти корни в промежутках, где \(\cos x \geq 0\) и \(\cos x < 0\). \[x = -\frac{7\pi}{2} \rightarrow -2\sin(-\frac{7\pi}{2})\cos^2(-\frac{7\pi}{2}) = \sqrt{2}|\cos(-\frac{7\pi}{2})| \rightarrow 0 = 0\] \[x = -\frac{5\pi}{2} \rightarrow -2\sin(-\frac{5\pi}{2})\cos^2(-\frac{5\pi}{2}) = \sqrt{2}|\cos(-\frac{5\pi}{2})| \rightarrow 0 = 0\]

Теперь, нужно проверить \(x = -4\pi + \frac{\pi}{2}\) и \(x = -3\pi + \frac{\pi}{2}\) \[x = -4\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2}\] \[x = -3\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}\] Эти корни нам подходят.

Ответ: \(-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}\). Количество корней равно 3

Achievement unlocked: Домашка закрыта

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей